Lie 群的伴随表示 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $G$ 是 Lie 群， $\mathfrak g=T_eG$ 。共轭映射 $c_g(h)=ghg^{-1}$ 固定 $e$ ，定义

\operatorname{Ad}_g=(dc_g)_e:\mathfrak g\longrightarrow\mathfrak g.

由 $c_{gh}=c_g\circ c_h$ 和链式法则，

\operatorname{Ad}_{gh}=\operatorname{Ad}_g\operatorname{Ad}_h.

每个 $\operatorname{Ad}_g$ 可逆，因此 $\operatorname{Ad}:G\to GL(\mathfrak g)$ 是一个光滑群表示。共轭是群自同构，所以它的微分保持括号：

\operatorname{Ad}_g[X,Y]=[\operatorname{Ad}_gX,\operatorname{Ad}_gY].

矩阵 Lie 群中的公式很直接。取群内曲线 $h(t)$ ，令 $h(0)=I,h'(0)=X$ ，便有

\operatorname{Ad}_gX=\left.\frac d{dt}\right|_0gh(t)g^{-1}=gXg^{-1}.

注意左侧作用于切向量，右侧用矩阵乘法计算；一般 Lie 群没有预先给定的矩阵乘法，仍应以微分定义为准。

从 Ad 到 ad 的桥梁

沿指数映射给出的一参数子群 $\exp(tX)$ 对伴随作用求导，得到

\left.\frac d{dt}\right|_0\operatorname{Ad}_{\exp(tX)}Y=[X,Y]=\operatorname{ad}_X(Y).

矩阵情形只需对 $e^{tX}Ye^{-tX}$ 求导。对任意 $t$ ，同样的计算给出常系数线性方程

\frac d{dt}\operatorname{Ad}_{\exp(tX)}=\operatorname{ad}_X\circ\operatorname{Ad}_{\exp(tX)}, \qquad \operatorname{Ad}_{e}=I.

当 $\dim\mathfrak g>0$ 时，按列应用线性系统解的唯一性； $\mathfrak g=0$ 时，两边都是零空间上的唯一自同构。两种情形都给出

\boxed{\operatorname{Ad}_{\exp X}=\exp(\operatorname{ad}_X)}.

右边是作用于向量空间 $\mathfrak g$ 的线性算子指数，左边是群元素的伴随作用。两个指数生活在不同的群里，这条等式把它们联系起来。

直觉

在同一个群内，把操作 $h$ 换成 $ghg^{-1}$ ，可以理解成先改变参照、实施操作、再换回来。这个共轭会怎样改变一个无穷小生成元？Lie 群的伴随表示 $\operatorname{Ad}$ 把这件事变成单位元切空间上的线性作用。本页讨论群元素 $g$ 的作用；抽象 Lie 代数已有的 $\operatorname{ad}_X(Y)=[X,Y]$ 是它进一步微分后的对象。

例子与边界

用 $SU(2)$ 算出一个三维旋转

采用群的 Lie 代数中同一组基 $T_j=-i\sigma_j/2$ ，满足 $[T_1,T_2]=T_3$ 及循环关系。取

g(\theta)=\exp(\theta T_3)=\begin{pmatrix}e^{-i\theta/2}&0\\0&e^{i\theta/2}\end{pmatrix}.

直接共轭 $T_1$ ：

g(\theta)T_1g(\theta)^{-1} =-\frac i2\begin{pmatrix}0&e^{-i\theta}\\e^{i\theta}&0\end{pmatrix} =\cos\theta\,T_1+\sin\theta\,T_2.

同样得到

\operatorname{Ad}_{g(\theta)}T_2=-\sin\theta\,T_1+\cos\theta\,T_2, \qquad \operatorname{Ad}_{g(\theta)}T_3=T_3.

因此在有序基 $(T_1,T_2,T_3)$ 中，采用“每列是对应基向量的像”的约定，

[\operatorname{Ad}_{g(\theta)}]= \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}.

而 $[\operatorname{ad}_{T_3}]=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ ；把它乘以 $\theta$ 再取指数，正好得到上式。这个计算同时核对了符号、列坐标约定和 Ad–ad 关系。

当 $\theta=2\pi$ 时， $g(2\pi)=-I\ne I$ ，但它在伴随表示中的像已经是恒等变换。这是伴随表示可能不忠实的具体原因，也预告了 $SU(2)\to SO(3)$ 的二重覆盖。

推论与应用

中心中的元素与一切群元素交换，所以总有 $Z(G)\subseteq\ker\operatorname{Ad}$ 。若 $G$ 连通，反包含也成立：假如 $\operatorname{Ad}_g=I$ ，则

g\exp(X)g^{-1}=\exp(\operatorname{Ad}_gX)=\exp X.

指数的小邻域生成连通群，故 $g$ 与整个群交换。因此连通时 $\ker\operatorname{Ad}=Z(G)$ 。

不能去掉连通条件。把非交换有限群 $S_3$ 看成零维 Lie 群，其 Lie 代数为零，Ad 对所有元素都平凡；于是核是整个 $S_3$ ，中心却只有单位元。一般情形中，Ad 的核是单位连通分支 $G^0$ 的中心化子，而不一定是全群的中心。

伴随表示捕捉的是群如何改变自己的无穷小方向，并非任意给定群表示的别名。覆盖与整体形式会利用刚才的核来解释为什么同一 Lie 代数能对应不同群。

参考资料

Alexander Kirillov Jr.，An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras，§2.6、Lemma 3.15、§3.6，以及 Exercises 2.8–2.10。
Pavel Etingof，Lie Groups and Lie Algebras I，§4.5 与 §9.2，伴随作用、群中心与 Lie 代数中心。

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从 Ad 到 ad 的桥梁 ​

用 SU(2) 算出一个三维旋转 ​

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