闭子群定理

形式陈述 ​

设 $G$ 是有限维实 Lie 群公理库Lie 群Lie group · 李群群的乘法与求逆同时光滑；通过圆群、一般线性群与旋转群检验连续对称的流形结构。，$H\le G$ 是子群公理库子群Subgroup在原群的同一运算下自身仍构成群的非空子集。，并且 $H$ 是 $G$ 拓扑中的闭集公理库闭集Closed set补集开放的子集；等价地，它包含拓扑能够检测到的全部闭包点。。则 $H$ 有唯一的光滑流形结构，使包含映射 $H\hookrightarrow G$ 为光滑嵌入公理库光滑嵌入Smooth embedding同时是浸入且把定义域同胚到其像的光滑映射。；在此结构下，$H$ 是 Lie 群，其拓扑就是从 $G$ 继承的子空间拓扑。

其 Lie 代数可以不先借助 $H$ 的流形结构而描述：

$$\mathfrak{h}=\{X\in \mathfrak{g}:\exp \left(tX\right)\in H\text{ 对一切 }t\in \mathbb{R}\}.$$

这里的 $\exp$ 是 Lie 群指数映射公理库Lie 群的指数映射Exponential map of a Lie group由唯一一参数子群定义指数映射，计算旋转的指数，并区分单位元附近的可逆性与全局满射性。。定理进一步保证这是线性子空间、对括号封闭，而且等于 $T_{e}H$。结论中的“嵌入”很重要：它要求光滑结构与集合在 $G$ 中实际继承的拓扑一致，不能只找一张沉浸参数化就算完成。

闭性如何变成光滑性 ​

证明的关键不是“闭集总是光滑”，那显然错误。关键是群运算允许把反复相乘得到的近似方向取极限。比如在矩阵群中有

$$\exp (t(X+Y))=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\exp \left(tX/n\right)\exp \left(tY/n\right){)}^n.$$

若 $X,Y\in \mathfrak{h}$，每个近似乘积都在 $H$ 中；闭性保证极限仍在 $H$。局部 BCH 展开公理库Baker–Campbell–Hausdorff 公式Baker-Campbell-Hausdorff formula · BCH formula指数乘积的局部对数由嵌套括号组成；推导首个交换子修正，并在 Heisenberg 群中得到精确有限公式。控制这些小乘积及其高阶余项。类似地，小交换子的首项为 $s^2[X,Y]$，重复小交换子并取极限，可证明 $[X,Y]\in \mathfrak{h}$。一般 Lie 群可在局部指数坐标中进行相同论证。

接下来选补空间 $\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus \mathfrak{m}$。映射

$$(X,Y)⟼\exp X\exp Y$$

在 $(0,0)$ 的微分为 $(X,Y)\mapsto X+Y$，所以由逆函数定理公理库逆函数定理Inverse function theorem导数可逆的光滑映射在该点邻域内存在光滑局部逆。，在小邻域内给出坐标。需要排除的是：会不会有任意小的非零 $Y\in \mathfrak{m}$，仍使 $\exp Y\in H$？

假如存在这样的 $Y_n\to 0$，可取子列使 $Y_n/\Vert Y_n\Vert \to Y$，其中 $Y\in \mathfrak{m}$ 且 $\Vert Y\Vert =1$。对给定 $t$，选整数 $k_n$ 使 $k_n\Vert Y_n\Vert \to t$，则

$$(\exp Y_n{)}^{k_n}=\exp \left(k_n{Y}_n\right)⟶\exp \left(tY\right).$$

左侧均在 $H$ 中，闭性再次推出 $Y\in \mathfrak{h}$，与补空间相交为零矛盾。因此足够小的横向方向不会落回 $H$；局部上 $H$ 恰由 $Y=0$ 定义，是一块光滑子流形。左平移把这块坐标搬到 $H$ 的其他点，完成证明机制。

直觉

给定矩阵群的一个子群，可以很容易检查乘法和求逆封闭，却未必容易找到坐标。闭子群定理给出一个强有力的捷径：只要它在原群中是闭集，就不必另外假设它已经是流形。它会自动带有与原拓扑一致的光滑结构。

例子与边界

闭矩阵条件怎样使用 ​

取 $H=O(n)\subset G{L}_n(\mathbb{R})$。方程 $A^{\mathsf{T}}A=I$ 的左边连续，所以解集在 $G{L}_n$ 中闭；正交矩阵相乘与求逆仍正交。定理于是直接给出它是嵌入 Lie 子群。它的切空间仍需计算：对约束求导得到 $X^{\mathsf{T}}+X=0$；反过来，每个这样的 $X$ 都由正交矩阵曲线 $e^{tX}$ 实现。因此切空间恰为反对称矩阵空间，维数为 $n(n-1)/2$。

再看

$$H=\{\mathrm{diag}(e^t,e^{-t}):t\in \mathbb{R}\}\subset S{L}_2(\mathbb{R}).$$

若一列这样的矩阵在 $S{L}_2(\mathbb{R})$ 中收敛，则两个对角元仍互为倒数且都为正，因此极限仍属于 $H$。它是闭子群，Lie 代数为 $\{\mathrm{diag}(t,-t)\}$。虽然参数 $t$ 无界，这不妨碍子群闭；闭性与紧性不同。

为什么不能去掉“闭” ​

在环面 $T^2=S^1\times S^1$ 中取无理数 $\alpha$，定义

$$\varphi :\mathbb{R}⟶T^2,\varphi (t)=(e^{it},e^{i\alpha t}).$$

这是单射群同态，也是沉浸，其像却在环面中稠密而不等于整个环面。直观上，一条无理斜率的直线在周期边界处不断绕回，会任意逼近每个位置。

不连续的逆可以直接检测。取整数 $q_n\to \mathrm{\infty }$，使 $q_n\alpha$ 到整数的距离趋于零。于是 $\varphi (2\pi q_n)\to (1,1)$，但参数 $2\pi q_n$ 并不趋于零。故 $\varphi :\mathbb{R}\to \varphi (\mathbb{R})$ 的逆在子空间拓扑下不连续，不能把它当成嵌入的直线。

这个像可以带上从 $\mathbb{R}$ 搬来的更细拓扑而成为沉浸 Lie 子群，但那不是环面继承的拓扑。定理正是排除了这种“参数看起来光滑，子空间拓扑却反复贴近自身”的现象。

推论与应用

群作用中一个点的稳定子是闭子群，只要作用连续且目标 Hausdorff：它是连续轨道映射对单点的原像。因此闭子群定理让稳定子自动成为 Lie 群，并为齐性空间公理库Lie 群的齐性空间Homogeneous space of a Lie group · Lie group quotient G/H闭子群的陪集空间继承光滑结构，以 SO(3)/SO(2) 等于球面计算纤维、维数与切空间。 $G/H$ 的光滑结构提供基础。这里闭性已足够，不需要额外假设 $H$ 正规；正规性只在希望商空间还具有群结构时出现。

参考资料

• Pavel Etingof，Lie Groups and Lie Algebras I，§3.3，Theorem 3.13 与无理环面绕线例子；§9.1 给出稳定子情形的局部构造。
• Alexander Kirillov Jr.，An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras，§2.2，Theorem 2.9：闭子群定理；§2.3：非闭沉浸子群。