Lie 群的覆盖与整体形式

形式陈述

设 $G$ 是连通 Lie 群， $p:\widetilde G\to G$ 是万有覆盖，选定 $\widetilde e\in p^{-1}(e)$ 。则 $\widetilde G$ 上存在唯一 Lie 群结构，使 $\widetilde e$ 为单位元、 $p$ 为群同态和局部微分同胚。可把 $\widetilde G$ 的元素看成从 $e$ 出发的路径的端点固定同伦类；两条路径逐点相乘，给出覆盖群的乘法。

核 $\Gamma=p^{-1}(e)$ 是离散子群，而且位于中心。证明中心性时，固定 $\gamma\in\Gamma$ ，映射

\widetilde g\longmapsto\widetilde g\gamma\widetilde g^{-1}

连续地从连通空间 $\widetilde G$ 映入离散集合 $\Gamma$ ，只能恒定；在单位元处值为 $\gamma$ 。于是

G\cong\widetilde G/\Gamma,\qquad \Gamma\cong\pi_1(G).

中心子群正规，所以 $\widetilde G/\Gamma$ 首先是商群；投影 $p$ 是开满射，故其商拓扑也与 $G$ 的拓扑一致，局部微分同胚再给出相应的光滑结构。这里讨论的 $p$ 因而是带有相容群结构的万有覆盖。

这里基本群的群结构与覆盖核一致，因而连通 Lie 群的基本群必为阿贝尔群。

反过来，连通单连通 Lie 群的任一离散中心子群都能取商，得到具有同一Lie 代数的连通 Lie 群。Lie 理论的存在唯一性定理进一步说明，每个有限维实 Lie 代数都对应唯一的连通单连通群。因此，确定 Lie 代数后，连通群的整体形式要再选择离散中心商。

直觉

$\mathbb R$ 与 $S^1$ 的局部加法一样， $SU(2)$ 与 $SO(3)$ 的 Lie 代数也一样，为什么群仍不同？无穷小结构不记录绕一圈之后是否回到原点。覆盖群把这部分整体信息集中在一个离散中心子群里。

例子与边界

最小例子：直线绕成圆

同态

p:\mathbb R\longrightarrow S^1,\quad t\longmapsto e^{it}

的核是 $2\pi\mathbb Z$ ，在每个长度小于 $2\pi$ 的适当区间上为局部微分同胚。所以

S^1\cong\mathbb R/(2\pi\mathbb Z).

导数把实数方向映到圆在 $1$ 处的切方向，是线性同构；它无法读出核中非零点的间距。这正说明“导数可逆”只保证局部结论。

$SU(2)$ 到 $SO(3)$ 的核逐项核验

每个 $SU(2)$ 元素唯一写成

U=\begin{pmatrix}a&b\\-\overline b&\overline a\end{pmatrix},\qquad |a|^2+|b|^2=1.

因而 $SU(2)$ 作为流形就是 $S^3$ ，特别地它连通且单连通。取实三维空间 $\mathfrak{su}(2)$ ，上面有正定内积

\langle X,Y\rangle=-2\operatorname{tr}(XY).

共轭保持这个内积，故伴随表示 Ad 给出正交变换；由于 $SU(2)$ 连通且单位元映到行列式 $1$ 的变换，像落在 $SO(3)$ 。

在基 $T_j=-i\sigma_j/2$ 中， $\operatorname{ad}_{T_j}$ 是绕第 $j$ 轴的无穷小旋转。这说明

p=\operatorname{Ad}:SU(2)\longrightarrow SO(3)

的单位元微分是同构，因此像包含 $SO(3)$ 中单位元的一个开邻域。像作为子群于是为开子群； $SO(3)$ 连通，所以像等于整个 $SO(3)$ 。

若 $U$ 在核中，它与所有 $T_j$ 交换。先与对角的 $T_3$ 交换，迫使 $U$ 对角；再与 $T_1$ 交换，迫使两个对角元相同。于是 $U=\lambda I$ 。酉性要求 $|\lambda|=1$ ，行列式为 $1$ 要求 $\lambda^2=1$ ，故

\ker p=\{I,-I\},\qquad SO(3)\cong SU(2)/\{\pm I\}.

这不仅算出纤维有两个点，也与局部微分同胚一起说明 $p$ 是二重覆盖。

一整圈的提升为什么没有闭合

绕第三轴旋转角 $\theta$ 的路径，通过指数映射在上层提升为

\widetilde R(\theta)=\exp(\theta T_3)=\operatorname{diag}(e^{-i\theta/2},e^{i\theta/2}).

当 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$ ，下层回到单位旋转，上层却从 $I$ 到 $-I$ 。到 $4\pi$ 上层才回到 $I$ 。因此一次整圈代表 $\pi_1(SO(3))\cong\mathbb Z/2\mathbb Z$ 的非零类，而 $SU(2)$ 的基本群平凡。这是同一 Lie 代数掩盖的整体差别。

推论与应用

给定 $\widetilde G$ 的表示 $\rho$ ，它能降为 $\widetilde G/\Gamma$ 的表示，当且仅当 $\rho(\gamma)=I$ 对所有 $\gamma\in\Gamma$ 成立。必要性来自同一个陪集必须有同一个像；充分性则让 $\rho(g\Gamma)=\rho(g)$ 成为良定义。

例如 $SU(2)$ 在 $\mathbb C^2$ 上的标准表示把 $-I$ 送到 $-I$ ，因此不能降到 $SO(3)$ 。伴随表示把 $-I$ 送到恒等，能够下降。只检查 Lie 代数的括号关系，无法看见这个离散障碍。

以上分类针对连通群。若再允许不连通群，还必须记录连通分支的离散群及其作用，不能仅靠给单连通群取中心商来穷尽。

参考资料

Alexander Kirillov Jr.，An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras，Theorem 2.7、Exercises 2.8–2.10、Corollary 3.43。
Pavel Etingof，Lie Groups and Lie Algebras I，§3.2 与 §9.3，覆盖群及单连通整体形式。

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SU(2) 到 SO(3) 的核逐项核验 ​

一整圈的提升为什么没有闭合 ​

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最小例子：直线绕成圆

$SU(2)$ 到 $SO(3)$ 的核逐项核验

一整圈的提升为什么没有闭合