Lie 群的齐性空间

形式陈述 ​

设 $G$ 是 Lie 群公理库Lie 群Lie group · 李群群的乘法与求逆同时光滑；通过圆群、一般线性群与旋转群检验连续对称的流形结构。，$H$ 是闭子群。左陪集公理库陪集Coset将子群整体左移或右移所得的集合，也是群按该子群分块的等价类。集合

$$G/H=\{gH:g\in G\}$$

先配商拓扑公理库商拓扑Quotient topology由满射逆像判据定义的最细拓扑，用来把指定点族连续地粘合为点。。闭子群定理公理库闭子群定理Closed subgroup theorem · Cartan closed subgroup theoremLie 群的拓扑闭子群自动是嵌入 Lie 子群；解释闭性在极限与局部坐标中的作用，并用环面稠密子群说明边界。使 $H$ 为嵌入 Lie 子群；进而 $G/H$ 有唯一的光滑流形公理库光滑流形Smooth manifold坐标图之间转移映射光滑的拓扑流形。结构，使商映射

$$\pi :G⟶G/H$$

是满射的光滑浸没公理库光滑淹没Smooth submersion · Submersion微分在每一点都满射、因而局部等价于遗忘若干坐标的光滑映射。（submersion，即每点微分满射）。其维数和单位陪集处切空间为

$$\dim (G/H)=\dim G-\dim H,T_{eH}(G/H)\cong \mathfrak{g}/\mathfrak{h}.$$

这里 $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$ 只需理解为向量空间商公理库商向量空间Quotient vector space按子空间诱导的陪集等价关系取商并继承向量运算的空间。；除非 $\mathfrak{h}$ 是理想，不应自动在其上写 Lie 代数商括号。

$G$ 对 $G/H$ 的左作用 $a\cdot (gH)=(ag)H$ 是传递的，即任意两点之间都有群元素将一者送到另一者。一般把具有传递光滑群作用公理库群作用Group action群元素以保持单位元与乘法的方式作用于集合。的流形称为齐性空间。在通常的第二可数流形约定下，选一点 $x$，其稳定子 $G_x$ 闭，轨道映射识别 $G/G_x$ 与该流形。

局部商坐标怎样构造 ​

利用指数映射公理库Lie 群的指数映射Exponential map of a Lie group由唯一一参数子群定义指数映射，计算旋转的指数，并区分单位元附近的可逆性与全局满射性。，在 Lie 代数中选补空间 $\mathfrak{g}=\mathfrak{m}\oplus \mathfrak{h}$。足够小时，

$$(X,Y)⟼\exp X\exp Y$$

是单位元附近的坐标。取商后，右边的 $\exp Y\in H$ 被忘掉，于是 $X\mapsto \exp XH$ 给出 $eH$ 附近的坐标。这解释了为什么商空间少掉 $\dim H$ 个方向。

如果改选另一个补空间，会得到不同坐标而不是不同流形；坐标变换由群乘法与局部逆的光滑性保证。每条纤维 $gH$ 都与 $H$ 微分同胚，但不同纤维未必能用一个全局光滑选代表元的规则同时标记。

直觉

一个旋转矩阵不仅指定北极被送到哪里，还指定绕那个方向如何继续旋转。如果只关心北极的像，就应把这些多余选择视为相同。齐性空间 $G/H$ 正是这种“忘掉稳定子自由度”的构造：群中的许多元素共同描述空间中的一个点。

例子与边界

把 $SO(3)/SO(2)$ 具体识别成球面 ​

令 $G=SO(3)$ 作用于单位球面 $S^2$，取北极 $e_3$。保持 $e_3$ 的旋转恰为

$$H=\left\{\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\right\}\cong SO(2).$$

考虑 $F(R)=R{e}_3$。任意单位向量都能通过旋转由 $e_3$ 得到，所以 $F$ 满射。如果 $F(R_1)=F(R_2)$，则 $R_2^{-1}{R}_1$ 固定 $e_3$，于是 $R_{1}H=R_{2}H$。反过来，同一个陪集当然有相同的像。因此 $F$ 给出一一对应

$$SO(3)/SO(2)⟶S^2.$$

再检查微分。把 $X\in \mathfrak{so}(3)$ 写成 $\hat{a}$，则

$$(dF{)}_I(\hat{a})=\hat{a}{e}_3=a\times e_3=(a_2,-a_1,0).$$

其像正是球面北极处的二维切平面，核是 $a_1=a_2=0$ 的轴旋转方向，也就是 $\mathfrak{h}$。商掉核便得到切空间同构。结合商坐标，前面的一一对应实际是微分同胚，而不只是集合巧合；维数检查为 $3-1=2$。

商空间为什么未必是商群 ​

本例的 $H$ 不是正规子群：把“固定北极的旋转”共轭后，得到“固定另一根轴的旋转”。因此不能定义 $(gH)(kH)=gkH$ 而不依赖代表元。$S^2$ 在这里是齐性流形，并没有由这个商得到群结构。

若 $H$ 正规且闭，陪集乘法才成为良定义，$G/H$ 同时是 Lie 群。例如 $\mathbb{R}/(2\pi \mathbb{Z})$ 是圆群。闭性和正规性服务于不同结论：前者保证良好的商拓扑与光滑结构，后者保证商乘法。

闭性也不能省略。取环面中的无理斜率稠密子群 $H$，则单位陪集在 $G/H$ 中不闭，因为它的逆像 $H$ 不闭。商空间连 $T_1$ 都不满足，更不可能是本页采用的 Hausdorff 流形。写出一套形式上的陪集，不能代替商拓扑检查。

推论与应用

轨道—稳定子的集合论对应在这里获得了微分几何内容：稳定子的维数测量被忘掉的运动，商切空间描述真正改变观测对象的方向。对不传递的作用，应逐个研究轨道；不同轨道可能有不同维数，整个轨道空间也可能有奇点，不能直接套用单个闭子群商的定理。

参考资料

• Pavel Etingof，Lie Groups and Lie Algebras I，§4.1、§4.4 与 Theorem 9.4。
• Alexander Kirillov Jr.，An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras，Theorem 2.11、§2.5，齐性空间、局部乘积与稳定子。