Haar 测度

在实线上“均匀”指平移一段区间不改变长度，在正实数乘法群上却应是放大一段区间不改变大小。什么积分才尊重一个群自己的乘法？Haar 测度把均匀性的标准从 Euclidean 坐标改成群平移。

加法与圆上的角度 ​

在 $(\mathbb{R},+)$ 上，$dx$ 左右平移不变。在圆群上，归一化 Haar 积分为

把圆旋转角 $\varphi$ 相当于把积分变量改成 $\theta +\varphi$；周期性消去端点改变，因此积分不变。有限群则使用归一化计数 $|G{|}^{-1}\sum _{g\in G}$，连续和离散情形由同一平移要求统一。

正实数乘法群不是用 $dx$ ​

在 $G=({\mathbb{R}}_{>0},\cdot )$ 上，乘以 $a>0$ 后 $y=ax$，有 $dy/y=dx/x$，所以 Haar 测度为

例如 $\mu ([1,2])=\log 2$，而 $\mu ([10,20])=\log 20-\log 10=\log 2$。普通长度给出 $1$ 与 $10$，不满足这个群的均匀性。坐标 $u=\log x$ 把乘法变加法，并把 $dx/x$ 变成 $du$，解释了这个密度从何而来。

仿射群中左与右确实不同 ​

令 $G=\{(a,b):a>0,b\in \mathbb{R}\}$，代表变换 $x\mapsto ax+b$，乘法为

固定 $(a_0,b_0)$ 作左平移，坐标变化为 $(a,b)\mapsto (a_{0}a,a_{0}b+b_0)$，导数矩阵的行列式公理库行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。为 $a_0^2$。于是

在左平移后不变，因为分子乘 $a_0^2$，分母也乘 $a_0^2$。

固定 $(c,d)$ 作右平移，坐标变化为 $(a,b)\mapsto (ac,ad+b)$，Jacobian 为 $c$。密度 $dadb/a$ 因此右不变；同一个变换作用于左 Haar 测度，却给出

例如右乘 $(2,0)$ 使左 Haar 质量减半。这就是不能在非交换群上默默把左不变当成右不变的实际反例。

模函数记录偏差 ​

固定左 Haar 测度，并采用约定

唯一性保证右平移只能改变一个正比例因子；这些因子形成连续同态 $\mathrm{\Delta }:G\to {\mathbb{R}}_{>0}$，称为模函数。上面的仿射群有 $\mathrm{\Delta }(a,b)=a$。也有文献把倒数称为模函数，使用时须先核对约定。

若 $\mathrm{\Delta }\equiv 1$，群称为 unimodular（幺模群）。阿贝尔群当然如此；紧群也如此，因为 $\mathrm{\Delta }(G)$ 是正实数乘法群中的紧子群，只能为 $\{1\}$。Lie 群中可用单位元处的 Jacobian 计算这些因子，但“是 Lie 群”本身并不保证幺模。

紧群的有限维连续复群表示公理库群表示Group representation把群同态地映入向量空间可逆线性变换群的结构。可以通过平均变成酉表示：给定任意正定 Hermitian 内积公理库内积空间Inner product space带正定对称双线性形式或正定 Hermitian 半双线性形式的向量空间。，定义

积分保持正定，平移不变性保证新的内积被群保持。这一步是Peter–Weyl 定理公理库Peter–Weyl 定理Peter-Weyl theorem紧群的不可约酉表示矩阵系数组成 L² 的正交基；由 Schur 平均解释正交性，并在圆群中完成 Fourier 系数计算。中正交分解的入口。对非紧群，积分可能发散，不能照搬“对全群平均”这一操作。