Peter–Weyl 定理

形式陈述 ​

设 $G$ 为第二可数的紧 Hausdorff 群，$\mu$ 是归一化 Haar 测度公理库Haar 测度Haar measure局部紧群存在唯一到正倍数的平移不变测度；计算乘法群与仿射群的密度，区分左、右不变性。。对每个有限维连续不可约酉复表示公理库群表示Group representation把群同态地映入向量空间可逆线性变换群的结构。的同构类 $\pi$，选一个代表及正交规范基，记维数 $d_{\pi }$、矩阵条目 ${\pi }_{ij}(g)$。则

$${\int }_G{\pi }_{ij}(g)\overline{{\sigma }_{k\ell }(g)}d\mu (g)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{d_{\pi }}}{\delta }_{ik}{\delta }_{j\ell },& \pi =\sigma ,\\ 0,& \pi \ncong \sigma .\end{array}$$

并且所有 $\sqrt{d_{\pi }}{\pi }_{ij}$ 在 $p=2$ 的积分范数空间公理库L^p 空间L-p space · Lebesgue space按几乎处处相等取商的积分范数空间；从尖峰和完备性走到共轭指数的对偶表示，并证明有限测度下的反身性。 $L^2(G,\mu )$ 中组成完备正交系；这里按几乎处处相等取商，并使用内积 $⟨f,h⟩={\int }_G\bar{f}hd\mu$，从而得到相应的Hilbert 空间公理库Hilbert 空间Hilbert space关于内积诱导范数完备的实或复内积空间。。本页采用第二可数条件，与前面的 Haar 测度范围一致；完整定理也适用于不第二可数的紧 Hausdorff 群，此时正交基可能不可数。这里不仅断言系数彼此正交，还断言它们的有限线性组合在 $L^2$ 范数下稠密。

更强的逼近版本是：这些矩阵系数的有限线性组合在 $C(G)$ 中对一致范数稠密。它说每个连续函数都可被某些有限组合一致逼近，不是说任意排序的 Fourier 部分和都一致收敛。

正交性为何来自 Schur 引理 ​

把一个线性映射 $A:V_{\sigma }\to V_{\pi }$ 作群平均：

$$T_A={\int }_G\pi (g)A\sigma (g{)}^{-1}d\mu (g).$$

平移不变性保证 $T_A$ 是交织算子。若 $\pi ,\sigma$ 不同构，Schur 引理公理库Schur 引理Schur's lemma · 舒尔引理不可约表示之间的非零交织算子必为同构，而有限维复不可约表示的自交织算子只能是标量。给出 $T_A=0$。若两者相同，$T_A$ 必为标量倍恒等；取迹得到

$$T_A=\frac{\mathrm{tr}A}{d_{\pi }}I.$$

让 $A$ 依次取只有一个非零条目的矩阵，再比较 $T_A$ 的条目，便得到上面的正交关系。分母 $d_{\pi }$ 是由取迹确定的，不能遗漏。

正交关系本身还不保证完备性。证明完备性的一个机制是使用右卷积

$$(T_{k}f)(x)={\int }_{G}f(y)k(y^{-1}x)d\mu (y),k\in C(G).$$

它与左平移 $L_{g}f(x)=f(g^{-1}x)$ 对易。连续核在紧空间上平方可积，故 $T_k$ 为紧算子；若 $k(h^{-1})=\overline{k(h)}$，它还自伴。谱定理的紧自伴情形公理库有界自伴算子谱定理Spectral theorem for bounded self-adjoint operatorsHilbert 空间上的有界自伴算子可由投影值测度或连续函数演算表示。给出特征向量分解，非零特征空间由紧性而有限维：否则一列正交单位特征向量的像不能有收敛子列。对易关系使这些空间在左平移下不变；非零特征函数又因连续核而连续，对有限维平移作用在单位元处取值，便将这些函数写成矩阵系数。逼近单位元的卷积核又让这些有限维部分逼近任意函数，从而排除与所有矩阵系数都正交的非零余项。

直觉

圆上的函数能用 Fourier 级数公理库Fourier 级数Fourier series · 傅里叶级数把周期函数投影到整数频率的正交指数基上所得的离散频谱展开。 $e^{in\theta }$ 分解。如果群的乘法不交换，整数频率不再足够，应该换成什么？Peter–Weyl 定理告诉我们：把一维角色换成不可约酉表示的全部矩阵系数，就得到紧群上的 Fourier 分解。

例子与边界

圆群的系数从头算一次 ​

圆群的不可约酉表示都是一维角色

$${\chi }_n(e^{i\theta })=e^{in\theta },n\in \mathbb{Z}.$$

由于 $d_{{\chi }_n}=1$，定理中的正交关系变为

$$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{e}^{in\theta }{e}^{-im\theta }d\theta =\{\begin{array}{ll}1,& n=m,\\ 0,& n\ne m.\end{array}$$

当 $n\ne m$ 时，原函数为 $e^{i(n-m)\theta }/(i(n-m))$，两端值相同，所以积分为零；当 $n=m$ 时被积函数恒为 $1$。

取具体函数

$$f(e^{i\theta })=2+3\cos \theta -\sin 2\theta .$$

利用 $\cos \theta =(e^{i\theta }+e^{-i\theta })/2$、$\sin 2\theta =(e^{2i\theta }-e^{-2i\theta })/(2i)$，得到

$$f=2+\frac{3}{2}{e}^{i\theta }+\frac{3}{2}{e}^{-i\theta }+\frac{i}{2}{e}^{2i\theta }-\frac{i}{2}{e}^{-2i\theta }.$$

因此 $\hat{f}(0)=2$、$\hat{f}(\pm 1)=3/2$、$\hat{f}(2)=i/2$、$\hat{f}(-2)=-i/2$，其余为零。Parseval 恒等式给出

$$\Vert f{\Vert }_2^2=4+2\cdot \frac{9}{4}+2\cdot \frac{1}{4}=9.$$

直接积分也一样：常数平方贡献 $4$，$9{\cos }^2\theta$ 平均为 $9/2$，${\sin }^{2}2\theta$ 平均为 $1/2$，所有交叉项积分为零。这是一次完整的系数与范数交叉核验。

推论与应用

若 $G$ 非交换，可能有 $d_{\pi }>1$，一个不可约表示贡献 $d_{\pi }^2$ 个矩阵系数。作为左正则表示，每种 $\pi$ 出现 $d_{\pi }$ 次；这与有限群正则表示的重数规律一致。不能只保留角色 ${\chi }_{\pi }(g)=\mathrm{tr}\pi (g)$：角色只捕捉对共轭不变的类函数，而一般函数需要全部条目。

例如 $SU(2)$ 的标准二维表示给出四个矩阵条目，每个条目的平方模积分为 $1/2$；对角两项的和是角色，却不足以分别恢复四个条目。正交公式清楚地标明了丢失的信息。

非紧群不能原样使用这个离散正交基结论。实数加法群上的 $e^{i\xi x}$ 不属于 $L^2(\mathbb{R},dx)$，频率也形成连续参数；对应理论使用 Fourier 积分或更一般的直接积分分解。紧性在本定理中承担实质作用。

参考资料

• Pavel Etingof，Lie Groups and Lie Algebras II，§§35.2–35.5、36.1–36.4，矩阵系数正交关系、Peter–Weyl 及紧算子证明。
• Terence Tao，254A, Notes 3: Haar measure and the Peter–Weyl theorem，§2，紧群上的有限维分解与矩阵系数。