拓扑映射锥与同调正合列

锥顶把源空间的所有点汇到一起，相当于在目标上加入一整套“填掉源的像”的材料。如果某个源循环在目标中已经消失，新材料反而可能围出一个高一维循环。因此映射锥既可能杀掉同调，也可能制造高一维同调。

映射柱先确保源作为真正的子空间出现。直接把集合 $f(X)$ 压掉，可能会把不同源点的重数和关系一起忘掉；映射锥保留这些信息，度二映射就是最简单的例子。

长正合列从哪里来 ​

柱底 $i(X)$ 在 $M_f$ 中闭，并有开邻域 $X\times [0,1/2)$ 形变收缩到它，所以 $(M_f,i(X))$ 是良好空间对。良好对的商公式理路相对同调Relative homology用商链复形 $C_*(X)/C_*(A)$ 测量空间相对于子空间新增的同调。给

将这个同构放入空间对长正合列理路同调正合列Exact sequence in homology空间对或链复形短正合列诱导的长正合群列。，再用 $r:M_f\simeq Y$，便得到主陈述。由于 $r\circ i=f$，对中包含诱导的箭头正好对应 $f_{\ast }$，而不是任意整数同态。这同时证明箭头与原映射相容。

在正次数处，正合性可进一步写成

这条短正合列一般不能未经证明就拆成自然直和。它先告诉我们哪两种信息进入锥，再由具体映射或更多结构确定中间群。

度 $m$ 的圆周映射 ​

令 $f_m(z)=z^m$，其映射度理路球面映射度Degree of a sphere map · 球面映射的度 · Brouwer degree on spheres用顶维同调定义球面自映射的整数度，证明复合、反射与非满射性质，并以角度提升复算圆周幂映射。为 $m$。$C{S}^1$ 是圆盘，故 $C_{f_m}$ 是向一个圆周沿 $m$ 次绕行附着一枚二胞腔的空间。长正合列化为

若 $m\ne 0$，乘 $m$ 的核为零，余核为 $\mathbb{Z}/|m|$，所以 $H_2=0$、$H_1=\mathbb{Z}/|m|$。$m=2$ 时就是实射影平面的标准附着模型。$m=1$ 时锥可缩；负 $m$ 的符号影响附着定向，但不改变这里的群结构。

若 $m=0$，常值附着给 $C_{f_0}\cong S^1\vee S^2$，所以 $H_1\cong H_2\cong \mathbb{Z}$。同样是一张圆盘，沿不同映射附着后，可以留下挠，也可以留下新二维自由类。

为什么不能改成 $Y/f(X)$ ​

对 $m=1,2$，$f_m(S^1)=S^1$，因此直接取 $Y/f_m(X)$ 都得到一点。但映射锥的 $H_1$ 分别为零和 $\mathbb{Z}/2$，并不相同。集合像没有记录绕行次数，映射柱保留的源端信息不可跳过。

对 $f=1_X$，$C_f$ 正是 $X$ 的锥，收缩到锥顶。对常值映射 $X\to Y$，锥底在 $Y$ 中只粘到一个点，得到 $Y$ 与未约化悬挂 $SX$ 在一个悬挂极点处的楔合；例如 $X=S^1$ 时恢复前面的球面楔合。

Hopf 附着给出复射影平面 ​

这一例子沿用前面的未约化锥约定，但源、目标不再同维。取 $\eta :S^3\to {\mathbb{CP}}^1$，$\eta (z_0,z_1)=[z_0:z_1]$；将 ${\mathbb{CP}}^1$ 视为复射影平面理路射影空间Projective space把非零向量按非零标量倍数关系取商所得的直线空间。中最后坐标为零的直线。定义闭单位球的特征映射

内部的最后坐标为正，在仿射片 $z_2\ne 0$ 中它成为

这对互逆连续映射，故内部同胚到整张 ${\mathbb{C}}^2$ 仿射片。边界 $\Vert z\Vert =1$ 恰映到 $[z_0:z_1:0]$，也就是 $\eta$；边界点的所有重合正好由复直线关系给出。因此 $\chi$ 与底部 ${\mathbb{CP}}^1$ 的包含诱导连续双射

左边是紧空间的商，右边是 Hausdorff 空间，所以该连续双射为同胚。这完成的是商识别，而不只是给出一张满射。[1, Example 0.6]

${\mathbb{CP}}^1\cong S^2$ 加一枚四胞腔，得到维数 $0,2,4$ 的三枚胞腔。胞腔边界全为零，故 $C_{\eta }$ 与常值锥 $C_0=S^2\vee S^4$ 的整数同调群相同；群表本身还不能区分它们。

用局部相对杯积核对正号 ​

固定复定向，记 $M={\mathbb{CP}}^2$，并取在一条复定向射影直线上评价为1的 $x\in H^2(M;\mathbb{Z})$。这就是已有射影空间环定理理路射影丛的上同调定理Projective bundle theorem · Cohomology of a projective bundle由复线分类先构造射影丛的二次类，再证明Leray–Hirsch自由模基和唯一首一关系，避免Chern构造循环。中的正生成元；下面仅核验本例所需的 $x^2=y$，不以 Chern 类作定义。

令 $L_0=\{z_0=0\}$、$L_1=\{z_1=0\}$，二者交于 $p=[0:0:1]$。两个补集 $U_i=M\setminus L_i$ 都是可缩的仿射片。对的上同调正合列给同构

于是 $x$ 各有唯一相对提升 ${\alpha }_i$。在 $p$ 周围的仿射片 $V=\{z_2\ne 0\}\cong {\mathbb{C}}^2$ 中，坐标为 $(w_0,w_1)=(z_0/z_2,z_1/z_2)$，两条直线分别是 $w_0=0$、$w_1=0$。

设 $u\in H^2(\mathbb{C},\mathbb{C}\setminus \{0\})$ 是复定向局部生成元。则

为核对这两个等式，把第一式限制到横截直线 $L_1$，第二式限制到 $L_0$：相应的局部生成元都在复定向二维圆盘上取值1，而 $x$ 在这些直线上的评价也为1。后一点可由复线性坐标旋转与恒等映射同伦得到。这里 $H^2(L_1,L_1\setminus \{p\})\to H^2(L_1)$ 是同构，因为 $L_1\setminus \{p\}\cong \mathbb{C}$ 可缩；切除再将左边识别为横截圆盘的局部群。对 $L_0$ 同理，因此局部评价1确实对应全局的 $x$。局部对 $({\mathbb{C}}^2,\{w_i\ne 0\})$ 向第 $i$ 坐标对的投影是对的同伦等价，因而这一横截限制已经唯一确定相对类。

由于 $U_0,U_1$ 开且 $U_0\cup U_1=M\setminus \{p\}$，相对杯积理路杯积Cup product使上同调成为分次环的自然双线性乘法。给

切除到 $V$ 后，它是两个复坐标方向的局部类之积。在乘积定向的 $D^2\times D^2$ 上，前后面杯积与相对叉积的评价为 $1\cdot 1=1$，故它是正的四维局部生成元；交换两个实二维因子也不会变号。这就是相对杯积证明在本维数的局部计算。[2, Theorem 3.19]

最后，$M\setminus \{p\}$ 沿 $[z_0:z_1:z_2]\mapsto [z_0:z_1:(1-t)z_2]$ 形变收缩到 $\{z_2=0\}\cong {\mathbb{CP}}^1$；在所述补集中 $(z_0,z_1)$ 不全为零，故公式始终有定义。正合列因此给

正局部类送到复定向的 $y$，自然性则把其相对杯积送到 $x^2$，从而 $x^2=y$。前面特征映射在内部是保向径向伸缩，故这个 $y$ 也与 $D^4\subset {\mathbb{C}}^2$ 的顶胞腔定向一致。

反之，$C_0$ 到 $S^2$ 的收缩使底类平方为零。这两个例子是Hopf 不变量理路映射锥杯平方与 Hopf 不变量Hopf invariant · Mapping cone cup-square invariant · Hopf不变量用两胞腔映射锥的整数杯平方定义附着不变量，证明同伦不变、加性及前后复合的不同次数律，并区分同群同基本群的两个锥。的归一化起点；该页继续证明一般 $S^{2n-1}\to S^n$ 的同伦不变、加法与前后复合律，并用系数3与4区分同调群及基本群均相同的锥。

若 $(Y,A)$ 是 CW 对且 $f:A\hookrightarrow Y$ 为包含，$C_f$ 中的 $CA$ 是可缩子复形。借助同伦延拓理路同伦延拓性质Homotopy extension property · HEP · Cofibration of a subspace · 余纤维化包含把子空间上指定的连续变形延拓到全空间，并用圆盘柱的显式收缩证明CW对子空间包含具有该性质。，压掉它给同伦等价

这个结论需要良好的包含条件；对任意子空间，直接商未必是正确的同伦余纤维。

映射锥的同调全为零，只说明原映射在约化同调上是同构，不能直接推出原映射同伦等价。后一个结论还涉及基本群及其他条件。代数锥无同调与拟同构的判据由原来的导出范畴页负责；本页增加的是可绘制、可附着并可计算的拓扑模型。