整数 | Codeboy's Blog

形式陈述

令 $\mathbb N$ 为自然数集合。在 $\mathbb N\times\mathbb N$ 上定义

(a,b)\sim(c,d) \quad\Longleftrightarrow\quad a+d=b+c.

这是一个等价关系；整数集合定义为商集

\mathbb Z=(\mathbb N\times\mathbb N)/{\sim}.

等价类 $[(a,b)]$ 表示形式差 $a-b$ 。加法和乘法定义为

[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)],

[(a,b)]\cdot[(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)].

这些定义与代表元选择无关，而且验证只需自然数的运算。若 $(a,b)\sim(a',b')$ ，即 $a+b'=b+a'$ ，加上同一对 $(c,d)$ 后，两结果的交叉和满足

(a+c)+(b'+d)=(a+b')+(c+d) =(b+a')+(c+d)=(b+d)+(a'+c).

乘上同一对 $(c,d)$ 后，两个交叉和分别为

\begin{aligned} (ac+bd)+(a'd+b'c)&=c(a+b')+d(b+a'),\\ (ad+bc)+(a'c+b'd)&=d(a+b')+c(b+a'). \end{aligned}

由 $a+b'=b+a'$ ，它们相等，所以乘积也属于同一个等价类。这两种运算的数对公式对两个输入对称，故同样可替换第二个代表；逐次替换便证明任意两边换代表都不改变结果。这里尚未使用整数减法。

映射

\iota:\mathbb N\to\mathbb Z,\qquad n\mapsto[(n,0)]

是保持 $0,1,+,\cdot$ 的单射；整数的相反数为

-[(a,b)]=[(b,a)].

顺序可定义为

[(a,b)]\le[(c,d)] \quad\Longleftrightarrow\quad a+d\le b+c.

在这些运算与顺序下， $\mathbb Z$ 是有序交换环。

直觉

自然数可以做加法和乘法，却不能保证减法仍留在自然数中。整数构造把所有形式差一起加入，并识别表示同一差的有序对。例如 $(5,2)$ 、 $(4,1)$ 与 $(3,0)$ 都表示 $3$ ，因为给两边补上同样数量不会改变差值。

商集把同一差的不同表示合并起来。运算与顺序还要尊重这种合并：换用同一个等价类里的另一对自然数，计算结果仍须落在原来的结果类中，比较结果也须保持一致。

例子与边界

[(2,5)]=[(0,3)]

表示整数 $-3$ ，因为 $2+3=5+0$ 。又有

[(2,5)]+[(4,1)]=[(6,6)]=0.

这也说明 $0$ 由所有形如 $(a,a)$ 的数对共同表示；正数、负数和零使用同一套运算规则。

整数上的大小顺序与整除关系回答不同问题： $2<3$ 表示在有序数轴上 $2$ 位于 $3$ 之前，而 $2\nmid3$ 表示不存在整数 $k$ 使 $3=2k$ 。

推论与应用

自然数经由 $\iota$ 成为整数的非负部分。笛卡尔积提供形式差的表示，商集把等价表示压成同一个整数。

整数是整除、同余、最大公因数和素因数分解的基本载体。进一步把整数对按非零分母的比例关系取商，可构造有理数；在含幺环及保幺环同态的范畴中，整数环是始对象：对每个含幺环 $R$ ，唯一的保幺环同态 $\mathbb Z\to R$ 把 $n$ 送到 $n\cdot1_R$ 。若允许不保幺的环同态， $\mathbb Z\to\mathbb Z$ 的恒等映射与零映射都保持加法、乘法，唯一性便不再成立。

参考资料

Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011, Chapter 1.
Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, Academic Press, 1977, §3.
Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, 1976, Chapter 1.

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