Anderson–Rubin检验与反演

形式陈述

当工具对解释变量的预测很弱时，用两个接近零的量相除，可能产生极不稳定的系数。Anderson–Rubin方法先给一个候选系数 $b$ ，把响应改成 $Y-bX$ ，再检验工具是否还解释这份残差。它不必先估计一个系数中心，也不必先除以首阶段。

本页的精确高斯实验

给定固定满列秩工具矩阵 $Z\in\mathbb R^{n\times q}$ ， $1\le q<n$ 。观测 $X,Y\in\mathbb R^n$ 满足结构方程

Y=\beta X+u,\qquad u\sim N_n(0,\sigma^2I_n),\qquad \sigma>0. \tag{1}

$\beta$ 与 $\sigma$ 是固定未知参数， $X$ 可以随机，且可与 $u$ 相关；本页不要求给定 $X$ 后误差仍正态。若 $Z$ 本身随机，可以在几乎每个合法 $Z$ 上把式(1)读成条件分布 $u\mid Z\sim N_n(0,\sigma^2I_n)$ ，并逐个条件应用下述结论。工具的选择不能偷偷使用误差后仍保留这项条件假设。

令 $P=P_Z$ 是到工具列空间的正交投影， $M=I-P$ ， $\nu=n-q$ 。对候选 $b$ ，写 $r_b=Y-bX$ ，使用

F(b)=\frac{r_b^{\mathsf T}Pr_b/q}{r_b^{\mathsf T}Mr_b/\nu}. \tag{2}

若分母为0而分子正，约定 $F=+\infty$ ；若二者都为0，约定 $F=0$ 。后一情形恰为 $r_b=0$ ，在真参数处概率为0，但数值算法仍要有确定规则。

给定 $0<\alpha<1$ ，令 $c=F_{q,\nu;1-\alpha}$ 为中心F分布分位数。检验 $H_0:\beta=b$ 时， $F(b)>c$ 拒绝，等号接受。反演集合为

\mathcal C_{1-\alpha}=\{b\in\mathbb R:F(b)\le c\}. \tag{3}

这里没有要求 $P_ZX$ 非零，更没有首阶段必须远离零的条件。

精确覆盖为何不依赖首阶段

在真参数 $b=\beta$ 处， $r_\beta=u$ 。取正交矩阵，其前 $q$ 列张成 $Z$ 的列空间。由多元正态的正交变换，变换后的 $u/\sigma$ 有 $n$ 个相互独立的标准正态坐标。因此

u^{\mathsf T}Pu/\sigma^2\sim\chi_q^2,\qquad u^{\mathsf T}Mu/\sigma^2\sim\chi_\nu^2,

且两平方和独立。两者除以各自自由度再相除，共同 $\sigma^2$ 约去，所以 $F(\beta)\sim F_{q,\nu}$ 。由连续分布，

P_\beta\{\beta\in\mathcal C_{1-\alpha}\} =P_\beta\{F(\beta)\le c\}=1-\alpha. \tag{4}

证明没有对内生 $X$ 条件化，也没有使用它与工具的相关程度。只要式(1)保持，改变 $X$ 与 $u$ 的联合关系不会改变真值处的零假设律。对许多 $b$ 作反演也不需要再作Bonferroni修正：覆盖事件只检查其中那个固定真值 $\beta$ 对应的检验。

直接解一个二次不等式

置 $k=cq/\nu$ 及 $A=P-kM$ 。非负平方和使式(3)在上述零分母约定下恰等价于

(Y-bX)^{\mathsf T}A(Y-bX)\le0,

也就是

a b^2+d b+e\le0,\qquad a=X^{\mathsf T}AX,\quad d=-2X^{\mathsf T}AY,\quad e=Y^{\mathsf T}AY. \tag{5}

这提供全实轴算法，而不是在一个任意有限网格上找未拒绝点。 $a\ne0$ 时求判别式 $d^2-4ae$ 并按开口方向保留全部区间； $a=0$ 时退化为一次或常数不等式。输出可能是有界区间、两射线、半轴、全实轴、单点或空集，所有有限端点都应按 $\le$ 保留。不要把两射线之间的空白补成“一个大区间”。

直觉

真系数把结构信号完整移到等式左侧，剩下的只有高斯噪声。噪声在工具空间内有 $q$ 个方向，在正交补中有 $n-q$ 个方向；式(2)比较这两部分的平均平方大小。首阶段弱会让许多不同候选都难以区分，但不会改变真值处的这份比较律。

精确覆盖没有承诺集合一定短、一定非空或一定包含某个点估计。多个工具同时提出限制时，某份资料可能与所有候选系数都冲突。这样的空集合应照实交付，而不是为了看起来像通常区间而返回2SLS周围的一段数值。

例子与边界

一个可以全部手算的双射线集合

取 $n=4,q=2$ ，选正交规范基

e_1=\tfrac12(1,1,1,1)^{\mathsf T},\quad e_2=\tfrac12(-1,-1,1,1)^{\mathsf T},\quad e_3=\tfrac12(-1,1,-1,1)^{\mathsf T},\quad e_4=\tfrac12(1,-1,-1,1)^{\mathsf T}.

令 $Z=(e_1,e_2)$ ，当前观察到

X=\tfrac12e_1+e_3=(-1/4,3/4,-1/4,3/4)^{\mathsf T},\qquad Y=3e_1+e_4=(2,1,1,2)^{\mathsf T}.

对每个 $b$ ，工具空间平方和为 $(3-b/2)^2$ ，正交补平方和为 $b^2+1$ 。两边自由度都是2，所以

F(b)=\frac{(3-b/2)^2}{b^2+1}.

由 $F_{2,2}$ 的密度 $(1+x)^{-2}$ ，CDF为 $x/(1+x)$ 。80%临界值恰为4，接受条件为

(3-b/2)^2\le4(b^2+1) \quad\Longleftrightarrow\quad15b^2+12b-20\ge0.

令 $b_\pm=(-6\pm4\sqrt{21})/15$ ，则

\mathcal C_{0.8}=(-\infty,b_-]\ \cup\ [b_+,\infty),\qquad b_-\approx-1.6220,\quad b_+\approx0.8220.

2SLS点估计为 $X^{\mathsf T}PY/(X^{\mathsf T}PX)=6$ ，它落在右射线内；集合还保留了整个左尾。只报告“围绕6”的一段区间会丢掉检验允许的另一支。

多一个工具方向可以让集合为空

保持 $n,q,Z$ 与80%临界值，换成 $X=e_1$ 、 $Y=3e_2+e_3$ 。此时

F(b)=b^2+9>4,

所以没有任何候选通过。第一工具方向可通过改变 $b$ 拟合，第二方向的幅度3却无法由 $X$ 解释，导致所有候选都拒绝。空集不能被解释为“参数不确定性为零”；它是这一批资料下整个结构限制族未通过反演。

另一方面，若 $X=e_3$ 、 $Y=e_4$ ，所有候选的工具投影都为零，故 $F(b)=0$ 、 $\mathcal C=\mathbb R$ 。这里没有可用于区分 $b$ 的工具方向。一个合法结果完全不提供有限范围，也是必须保留的信息。

同一精确F临界值下的双射线、空集合和全实轴三种AR接受集合，有限端点全部保留 — Anderson–Rubin的完整接受集合

图底的蓝色箭线是完整接受集合在画面中的部分，箭头表示无界方向，有限根用闭点保留；红线只标临界值，不改变各面板的纵轴尺度。

精确、弱识别与条件覆盖是不同问题

式(4)是原始重复抽样的覆盖。如果再条件于“观察到的集合非空”“只看有界集合”或“首阶段统计量超过阈值”，通常不能继续声称同样的 $1-\alpha$ 。筛选改变了抽样事件，而本证明没有给这种条件覆盖。

一般异方差 $u$ 不具有 $\sigma^2I$ 协方差，两投影平方和未必独立，式(2)也未必是中心F。仅保留 $E(Z^{\mathsf T}u)=0$ 或大样本sandwich，不能得到本页有限样本精确结论。非高斯、相关行、工具由响应筛选等情况，都要为新的检验重新校准。

若结构式还含未知外生控制系数，不能把它们当已知删掉后继续用 $n-q$ 自由度。可以建立先投影掉控制空间的版本，但必须重新计数剩余维数并核对完整设计与误差条件；该扩展没有隐含在式(1)中。

推论与应用

与Fieller共有反演思路，实验不同

Fieller比值集合在已知正定协方差的二维高斯实验中，检验“分子减 $b$ 倍分母”为零，也得到二次不等式。本页另有 $n$ 维误差、未知公共方差、多个工具和剩余平方和，临界值来自 $F_{q,n-q}$ 。两者都避免先对一个近零分母作线性近似，但不能互换协方差和自由度。

特别是，Fieller页在其合法正定输入下排除了空集；这里 $q>1$ 时，额外工具方向可以留下任何 $b$ 都不能消掉的偏差，空集例子已经精确展示这项差异。相同的二次代数外形不等于相同的统计输入合同。

实现与证书

对 $Z$ 作薄QR得到 $Q_Z$ ，算 $Q_Z^{\mathsf T}X,Q_Z^{\mathsf T}Y$ ；剩余平方和与交叉项由原始内积减去投影内积得到。形成 $a,d,e$ 后，解式(5)即可，不必为每个候选重新回归。密集QR约 $O(nq^2)$ ，其他内积约 $O(nq)$ ，三个系数形成后集合分类为常数次实数运算；计算临界分位数与认证根式符号的精度成本另列。

浮点数接近 $a=0$ 或判别式为0时，应提高精度或给区间证据，不能用任意小阈值把双射线误判为有界区间。因为 $P_{ZC}=P_Z$ ，任何可逆工具换基 $Z\mapsto ZC$ 都保持完整集合；这也是实现检查的一个有效恒等式。

矩约束与反演的迁移验收要求交付每份输入的两投影平方和、自由度、临界值、二次系数、所有分支和边界。得到集合后仍须解释工具的科学有效性；精确检验无法修复错误的结构方程或因果排除限制。

参考资料

T. W. Anderson与Herman Rubin，Estimation of the Parameters of a Single Equation in a Complete System of Stochastic Equations，Annals of Mathematical Statistics20(1)，1949，pp.46–63。原始方法的书目入口；本页的固定工具、单结构系数版本由上述正交高斯分解完整证明。
Victor Chernozhukov与Iván Fernández-Val，Structural Equations Models and IV, Take 1，MIT14.382，2017，§2.3，PDF pp.7–9。弱首阶段下改检验变换响应并反演；课程中的一般渐近Wald校准与本页额外高斯条件下的精确F校准分开使用。
Russell Davidson与James G. MacKinnon，Confidence sets based on inverting Anderson–Rubin tests，The Econometrics Journal17(2)，2014，pp.S39–S58。进一步讨论集合形状及根据观察量筛选后的条件覆盖；精确无条件覆盖并不承诺每种集合类型都具有相同条件覆盖。

形式陈述 ​

本页的精确高斯实验 ​

精确覆盖为何不依赖首阶段 ​

直接解一个二次不等式 ​

一个可以全部手算的双射线集合 ​

多一个工具方向可以让集合为空 ​

精确、弱识别与条件覆盖是不同问题 ​

与Fieller共有反演思路，实验不同 ​

实现与证书 ​

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