主理想整环

理想 $(a,b)$ 收集了所有形如 $ra+sb$ 的线性组合。它等于 $(d)$，意味着这些结果恰好是 $d$ 的所有倍数。一方面 $a,b\in (d)$，所以 $d$ 同时整除二者；另一方面 $d=ra+sb$，所以任何公因子也整除 $d$。因此一个生成元同时记录了共同整除关系和全部线性组合。

PID 把这种压缩能力要求于每个理想，即使最初使用无限多个元素来描述，也能改由一个元素生成。Euclid 整环中的带余除法可以构造出这样的生成元；PID 的定义则直接对理想提出单生成元条件，其范围也包含一些非 Euclid 整环。

$\mathbb{Z}$ 与域上的一元多项式环 $F[x]$ 是 PID，可分别用整数或多项式的 Euclid 算法求理想生成元。域本身也是 PID：只要理想包含非零元素 $a$，便包含 $a^{-1}a=1$，所以只有 $(0)$ 与 $(1)$ 两个理想。

$\mathbb{Z}[x]$ 是 UFD，却不是 PID。若 $(2,x)=(d)$，则 $d\mid 2$ 迫使 $d$ 为常数，$d\mid x$ 又迫使这个整数整除 $x$ 的系数 $1$，所以 $d=\pm 1$。这会使 $(2,x)$ 成为全环；但该理想中每个多项式的常数项都为偶数，因而不含 $1$，矛盾。

环 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 的理想只有 $(0)$、$(2)$、$(1)$，全都是主理想，但非零元素 $[2]$ 满足 $[2{]}^2=0$。它是主理想环，却因含零因子而不是主理想整环。

在 $\mathbb{Q}[x]$ 中，理想

实际上是主理想 $(x-1)$。一方面两个生成元都被 $x-1$ 整除，所以 $I\subseteq (x-1)$；另一方面

故 $(x-1)\subseteq I$。这样，任意形如 $a(x)(x^2-1)+b(x)(x^2-x)$ 的多项式恰好都是 $x-1$ 的倍数。将生成元换成任意非零常数倍 $c(x-1)$，仍得到同一理想。

Euclid 整环公理库欧几里得整环Euclidean domain带有允许带余除法并严格下降的欧几里得函数的整环。必为 PID，而 PID 必为唯一分解整环公理库唯一分解整环Unique factorization domain · UFD每个非零非单位元素都能唯一地分解为不可约元乘积的整环。。后一结论的存在性来自理想升链条件公理库Noether 环Noetherian ring每个理想有限生成，等价地理想升链最终稳定的环。：若把一个非零非单位元不断拆出非单位因子，就会得到主理想的严格升链；PID 中每个理想都有限生成，所以这样的链必须停止。唯一性则来自不可约元公理库不可约元Irreducible element非零非单位且不能分解为两个非单位乘积的整环元素。生成极大理想公理库极大理想Maximal ideal在真理想按包含关系中极大的理想，其商环为域。，因而都是素元公理库素元Prime element整除乘积时必整除至少一个因子的非零非单位元素。。

PID 中的每个非零素理想也都是极大理想。写成 $(p)$ 后，若 $(p)\subseteq (d)\subseteq R$，则 $d\mid p$；素元 $p$ 不可约，使中间理想只能为 $(p)$ 或 $R$。零理想则取决于环本身：在 $\mathbb{Z}$ 中它不是极大理想，因为 $\mathbb{Z}/(0)\cong \mathbb{Z}$ 不是域。

对 PID 上的矩阵，Bézout 等式支持可逆的行列变换，将矩阵化为Smith 正规形公理库PID 上的 Smith 正规形Smith normal form over a PID · Smith normal formPID 上的矩阵可经可逆行列变换化为满足整除链的对角形，且对角因子在相伴意义下唯一。。矩阵表示的关系于是被拆成各个坐标上的关系 $d_i{e}_i=0$，得到有限生成模结构定理公理库PID 上有限生成模结构定理Structure theorem for finitely generated modules over a PIDPID 上每个有限生成模唯一分解为有限秩自由部分与满足整除链的循环挠模。。取 $R=\mathbb{Z}$ 时，这对应把有限生成阿贝尔群分成自由部分与有限循环群。

Smith 页的三阶算例给出九步整数变换及 $UAV=\mathrm{diag}(2,30,0)$ 的完整证书。在一般 PID 的证明中，Bézout 等式构造可逆换基，理想升链条件保证主元处理终止；这两步共同解释了为何能得到正规形。