可分扩张

次数 $[F(\alpha ):F]$ 等于最小多项式的次数，而保持 $F$ 不动的域嵌入，可以把 $\alpha$ 送到这个多项式的不同根。若有重根，按重数计数的次数就会大于可供选择的位置数；可分性使每个根都只出现一次，让两种计数一致。

可分性与正规性因此回答不同问题：前者问“共轭根有多少个不同位置”，后者问“这些位置是否都在当前域内”。可分扩张的嵌入可以进入更大的代数闭包；再加上正规性，才使这些嵌入都成为当前扩域的自同构。

令 $F={\mathbb{F}}_p(t)$。多项式 $f(x)=x^p-t$ 在 $F[x]$ 中不可约，因为 $t$ 不是 $F$ 中元素的 $p$ 次方；但 $f^{\prime }(x)=p{x}^{p-1}=0$。在代数闭包中，若 $\alpha =t^{1/p}$，则 $f(x)=(x-\alpha {)}^p$，只有一个不同的根。于是 $F(\alpha )/F$ 的次数为 $p$，却是不可分的纯不可分扩张。这里“导数为零”不表示 $f$ 是常数：特征 $p$ 使 $x^p$ 等各指数为 $p$ 倍数的项求导后消失。

有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 的情况不同。Frobenius 映射 $x\mapsto x^p$ 是有限集上的单射，因而满射，每个系数都有 $p$ 次根。若一个非恒定多项式的导数为零，它只含 $x^p$ 的幂；再对系数取 $p$ 次根，就能把整个多项式写成另一个多项式的 $p$ 次方。因此它不可能不可约，有限域上的不可约多项式也就都可分。

有限可分扩张具有本原元理路本原元定理Primitive element theorem · 本原元素定理证明有限可分域扩张可由一个元素生成，解释无限基域中的有限坏参数，并给出不能单生成的不可分扩张。，即可以写成 $E=F(\alpha )$；它进入代数闭包的不同 $F$-嵌入共有 $[E:F]$ 个。可分性与正规性理路正规扩张Normal extension · 正规域扩张一个不可约多项式的根一旦进入扩域，其全部共轭根便都留在其中的代数扩张。合在一起定义Galois 扩张理路Galois 扩张Galois extension · 伽罗瓦扩张同时正规且可分的代数扩张，使扩张次数与域自同构对称性在有限情形精确配平。；在有限情形，这些嵌入都留在 $E$ 内，自同构数因而等于扩张次数。

计算上，先求形式导数，再用多项式 Euclid 算法计算 $gcd(f,f^{\prime })$，就能检测重根。对代数元的最小多项式应用这一判据，可以判断它是否可分；同一计算也是平方自由分解中的基本步骤。