Fubini 定理

固定 $x$ 后的 $y\mapsto f(x,y)$ 称为截面。Fubini 的实质是：绝对可积时，分批累加这些截面的贡献，与在整个乘积空间上一次积分一致。假设控制的是 $|f|$ 的总质量，所以不允许正负无穷在不同方向上以不同顺序抵消。

证明可从Tonelli 定理公理库Tonelli 定理Tonelli's theorem非负可测函数的二重积分与两种迭代积分相等，允许共同取无穷。获得。先对非负函数 $|f|$ 换序；其总积分有限，便迫使截面的绝对积分几乎处处有限。对实函数再写 $f=f^{+}-f^{-}$，其中 $f^{+}=max(f,0)$、$f^{-}=max(-f,0)$。两部分都由 $|f|$ 控制，分别使用 Tonelli 后相减，不会出现 $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$。复函数则对实部和虚部分别进行这一步。

矩形指标函数给出 $(\mu \times \nu )(A\times B)=\mu (A)\nu (B)$。更具体地，在单位正方形取 $f(x,y)=x-y$；因为 $|f|\le 1$，可先验确认可积，再算得

仅知道两种迭代积分各自存在，仍不足以换序。取计数测度，在正整数对上定义 $a_{mn}=1$（$m=n$）、$a_{mn}=-1$（$m=n+1$），其余为零。第一行和为 $1$，其余行和为 $0$；每列都有一正一负，列和全为 $0$。于是

这里每个内层和甚至只有有限个非零项，但 $\sum _{m,n}|a_{mn}|=\mathrm{\infty }$，所以不满足 Fubini。

若随机变量 $U,V$ 独立，且 $u(U),v(V)$ 分别可积，Tonelli 先给出

再由 Fubini 得到 $\mathbb{E}[u(U)v(V)]=\mathbb{E}u(U)\mathbb{E}v(V)$。单独假定乘积可积并不总能保证右端两个期望存在，例如一个因子恒为零时。

标准陈述保留 $\sigma$-有限性，不能无声删去。内层积分只须几乎处处有定义；在可测的异常零测集上统一补定义为零，即可形成外层可积函数。Fubini 处理积分次序，变量代换则还需 Jacobian，二者解决的问题不同。

乘积测度公理库乘积测度Product measure在乘积 σ-代数上把可测矩形的测度规定为边测度乘积的测度。提供二重积分的底层空间，Tonelli 定理公理库Tonelli 定理Tonelli's theorem非负可测函数的二重积分与两种迭代积分相等，允许共同取无穷。先处理非负函数，Fubini 再在绝对可积公理库Lebesgue 积分Lebesgue integral从简单函数积分出发，按单调逼近定义非负、扩展值与可积函数的积分。条件下处理有符号函数。独立性、卷积、积分算子和 PDE 能量计算都把复杂总量拆成截面后使用这一交换原则。高维Monte Carlo 积分公理库Monte Carlo 积分Monte Carlo integration · Monte Carlo quadrature将积分改写为随机变量期望，以独立样本均值估计并用方差和概率假设量化随机误差。可以把乘积空间上的积分整体视为一个期望；若要分坐标调换积分、条件化或重新排列估计，仍须先满足本页的可积与换序条件。