鞅收敛定理

“有界”本身不会强迫一般序列收敛，例如 $(-1{)}^n$ 一直振荡。这里起作用的是下鞅结构：如果路径永远在某两个水平之间反复来回，上穿策略就会反复获得固定大小的收益；而统一矩界又不允许其期望收益无限增长。两者结合排除了持续振荡。

从上穿次数到极限 ​

固定有理数 $a<b$。由上穿不等式理路上穿不等式Upcrossing inequality · Doob upcrossing inequality通过低买高卖的可预测持仓，把下鞅完成上穿一个区间的期望次数控制在终点正部期望之内。，若 $C=\underset{n}{sup}\mathbb{E}|X_n|$，则

$U_N$ 随 $N$ 递增。单调收敛定理理路单调收敛定理Monotone convergence theorem非负可测函数单调递增时，积分极限等于极限函数积分。于是给出 $\mathbb{E}{U}_{\mathrm{\infty }}[a,b]<\mathrm{\infty }$，从而 $U_{\mathrm{\infty }}[a,b]<\mathrm{\infty }$ 几乎必然。有理端点对只有可数多个，所以可以在同一个概率一事件上令所有这类上穿次数都有限。

若一条路径满足 $lim inf{X}_n<lim sup{X}_n$，便可在两者之间选到有理数 $a<b$；这条路径将无限次从 $a$ 以下走到 $b$ 以上，与刚才的结论矛盾。因此路径存在扩展实数意义的极限。最后由 Fatou 引理理路Fatou 引理Fatou's lemma非负可测函数列下极限的积分不超过积分的下极限。，

排除极限为正负无穷，并同时证明 $\mathbb{E}|X_{\mathrm{\infty }}|\le C$。证明中“排除振荡”和“排除无穷极限”是两个不同步骤。

几乎必然归零，但均值始终为一 ​

独立重复抛公平硬币，令 $A_n$ 表示前 $n$ 次均为正面，并定义

若前面已经出现反面，此后过程恒为零；否则下一步以各一半概率变为 $2^{n+1}$ 或零。因此 $\mathbb{E}[M_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]=M_n$，这是非负鞅。并且

永远不出现反面的概率为 $\underset{n}{lim}{2}^{-n}=0$，所以几乎每条路径最终归零，定理的极限为 $M_{\mathrm{\infty }}=0$。然而 $\mathbb{E}|M_n-M_{\mathrm{\infty }}|=1$，完全没有 $L^1$ 收敛。每个有限阶段的均值由尚未归零的极少数路径承担，这些路径上的值不断增大。

对任意 $K$，选取 $2^n>K$ 就有 $\mathbb{E}[M_n{\mathbf{1}}_{M_n>K}]=1$，所以失败点恰是缺少一致可积性理路一致可积性Uniform integrability · Uniformly integrable family一族可积随机变量在统一截断水平之外的绝对期望可以一致地趋于零。，不是缺少路径收敛。

缺少统一界时可以发散 ​

确定性过程 $X_n=n$ 是下鞅，但 $X_n\to +\mathrm{\infty }$，不存在有限极限。每个时刻分别可积与统一可积矩界之间的区别因此不可省略。另一个方向上，有界确定性振荡 $(-1{)}^n$ 也不构成反例，因为它不是下鞅。

非负上鞅收敛常用来分析随时间减少的误差量或势函数，但极限存在并不意味着极限等于零；还需用额外的动力学、期望衰减或其他结构识别极限。对于需要保持均值或得到终端条件期望表示的问题，应继续使用鞅的 L¹ 收敛定理理路鞅的 L¹ 收敛定理L1 martingale convergence theorem · Uniformly integrable martingale convergence · Closed martingale离散鞅一致可积当且仅当它在 L¹ 中收敛，也当且仅当它由一个可积随机变量的条件期望闭合。。

如果已经知道某个 $p>1$ 下 $\underset{n}{sup}\mathbb{E}|M_n{|}^p<\mathrm{\infty }$，高阶矩会提供一致可积性；Doob 最大不等式理路Doob 最大不等式Doob maximal inequality · Doob Lp inequality用非负下鞅的终点尾部期望或鞅的终点 p 阶矩控制整个有限时间区间的最大值。还可控制轨迹的整体最大值。这些都是在本页路径收敛结论之上的进一步控制。

自测。 非负上鞅 $Z_n$ 满足 $\mathbb{E}{Z}_n\to 0$，能否断言其几乎必然极限为零？可以：先由定理得到 $Z_{\mathrm{\infty }}\ge 0$，再由 Fatou 引理得 $\mathbb{E}{Z}_{\mathrm{\infty }}\le \underset{n}{lim inf}\mathbb{E}{Z}_n=0$，故 $Z_{\mathrm{\infty }}=0$ 几乎必然。这个论证不能仅凭“非负上鞅”四个字省略第二步。