鞅的 L¹ 收敛定理

几乎必然收敛解决的是沿路径能否看到稳定终值；$L^1$ 收敛还要求平均绝对误差消失。UI 排除小概率路径长期携带巨大均值贡献，因而把这两件事连接起来。闭鞅表示则从另一方向解释稳定性：每一步都在预测同一个可积目标，新增信息只能更新预测，不能凭空制造越来越难控制的尾部。

三个条件怎样接起来 ​

UI 首先蕴含 $\underset{n}{sup}\mathbb{E}|M_n|<\mathrm{\infty }$，由鞅收敛定理理路鞅收敛定理Martingale convergence theorem · Almost sure martingale convergence绝对一阶矩统一有界的离散下鞅具有有限的几乎必然极限，但未必在一阶均值中收敛。得到几乎必然极限；再用 UI 的 Vitali 判据升级为 $L^1$ 收敛。

若已有 $L^1$ 收敛，固定 $n$，对每个 $m\ge n$ 有 $M_n=\mathbb{E}[M_m\mid {\mathcal{F}}_n]$。条件期望是 $L^1$ 压缩，即

故 $M_n=\mathbb{E}[M_{\mathrm{\infty }}\mid {\mathcal{F}}_n]$，得到闭合表示。

最后证明闭合表示提供 UI。对任意子 $\sigma$-代数 $\mathcal{G}$，记 $Y=\mathbb{E}[Z\mid \mathcal{G}]$，把 $Z$ 分成 $|Z|\le K/2$ 与其补集两部分，得到

在 $|Y|>K$ 的事件上，右侧尾部项至少为 $|Y|/2$，所以

右边与 $\mathcal{G}$ 无关，极限由控制收敛定理理路控制收敛定理Dominated convergence theorem几乎处处收敛且被同一可积函数控制时，可以交换极限与积分。保证。这同时证明所有这些条件期望组成的族一致可积。

至于极限的身份，对任意 $A\in {\mathcal{F}}_n$，令 $m\to \mathrm{\infty }$ 可得 $\mathbb{E}[M_{\mathrm{\infty }}{\mathbf{1}}_A]=\mathbb{E}[Z{\mathbf{1}}_A]$。这些事件构成的代数生成 ${\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}$，由有限符号测度的唯一性扩展到整个 ${\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}$；再结合极限的可测性，就得到 $M_{\mathrm{\infty }}=\mathbb{E}[Z\mid {\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}]$。

逐位揭示均匀变量 ​

令 $U$ 在 $[0,1)$ 上均匀分布，${\mathcal{F}}_n$ 只告诉我们 $U$ 落在哪个长度为 $2^{-n}$ 的二进区间内。若 $U\in [k{2}^{-n},(k+1)2^{-n})$，则条件分布在该区间上均匀，所以

它就是已知区间的中点。设区间长度为 $h=2^{-n}$，该区间内的平均绝对误差为

所有区间的误差相同，因此 $\mathbb{E}|M_n-U|=2^{-n}/4$。同时逐路径误差至多为 $2^{-n-1}$，并且 $0\le M_n\le 1$ 保证 UI。这里整个二进信息最终确定 $U$，故极限确实等于闭合变量。

若再引入与 $U$ 独立、同样均匀分布于 $[0,1)$ 的 $V$，改用 $Z=U+V$，但仍只逐步揭示 $U$，则

极限是 $\mathbb{E}[Z\mid {\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}]$，不是 $U+V$；未被观察的 $V$ 始终只留下均值 $1/2$。

仅有一阶矩界仍不够 ​

前 $n$ 次公平硬币均为正面时取值 $2^n$、否则为零的非负鞅满足 $\mathbb{E}{M}_n=1$，却几乎必然趋于零。因此 $\underset{n}{sup}\mathbb{E}|M_n|=1$ 不足以保证本定理的任何等价条件。它不可能由某个可积 $Z$ 闭合，否则本定理将迫使其在 $L^1$ 中收敛并保留均值，与零极限矛盾。

对可选停止定理理路可选停止定理Optional stopping theorem · Optional sampling theorem在足以控制随机停止与极限交换的条件下，鞅的期望在停时前后保持不变。，若 $\tau <\mathrm{\infty }$ 几乎必然且停止族 $\{M_{n\wedge \tau }\}$ UI，停止过程本身是鞅，本定理给出 $M_{n\wedge \tau }\to M_{\tau }$ 的 $L^1$ 收敛，因此有限阶段的 $\mathbb{E}{M}_{n\wedge \tau }=\mathbb{E}{M}_0$ 可以传到极限。

在条件期望的渐进更新中，上面的闭鞅结论也称 Lévy 向上收敛定理：可积 $Z$ 的条件期望沿递增信息收敛到全部已揭示信息下的条件期望。若还掌握统一的 $p>1$ 阶矩，则可通过Doob 最大不等式理路Doob 最大不等式Doob maximal inequality · Doob Lp inequality用非负下鞅的终点尾部期望或鞅的终点 p 阶矩控制整个有限时间区间的最大值。研究路径最大误差；均值收敛本身并不直接提供指定的收敛速率。

自测。 在二进区间例子中，要使 $\mathbb{E}|M_n-U|\le {10}^{-3}$，至少需要揭示多少位？由 $2^{-n}/4\le {10}^{-3}$ 得 $2^n\ge 250$，所以最小为 $n=8$。这是该例的精确误差计算，不是一般 UI 鞅的统一速率。