平衡点稳定性 | Codeboy's Blog

形式陈述

平衡点稳定性研究动力系统的初值扰动如何影响后续轨道。数值稳定性研究计算误差的传播，绝对稳定域则描述时间离散方法对测试方程的稳定步长范围；三者分别比较动力系统轨道、有限精度计算过程与数值方法对测试方程的离散放大。

设 $(X,d)$ 是度量空间，其上有连续时间动力系统的连续半流 $\varphi_t$ ， $t\ge0$ 。平衡点 $x_*$ 满足 $\varphi_t(x_*)=x_*$ 。它称 Lyapunov 稳定，若

\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\quad d(x_0,x_*)<\delta \Longrightarrow d(\varphi_t(x_0),x_*)<\varepsilon\quad(t\ge0).

若它稳定，且存在 $r>0$ ，使所有 $d(x_0,x_*)<r$ 的初值都有 $d(\varphi_t(x_0),x_*)\to0$ ，则称渐近稳定。这里的趋近指：对每个 $\varepsilon>0$ ，存在依赖于该初值和 $\varepsilon$ 的 $T$ ，使全部 $t\ge T$ 的距离小于 $\varepsilon$ 。若存在 $r,C,\alpha>0$ ，使这一邻域内所有初值都满足

d(\varphi_t(x_0),x_*)\le Ce^{-\alpha t}d(x_0,x_*)\qquad(t\ge0),

则称指数稳定。距离及常数都相对于同一个选定度量；在下文的 $\mathbb R^n$ 例子中取欧氏距离 $d(x,y)=\|x-y\|$ 。吸引性与稳定性是不同量词，前者单独并不蕴含后者。

对只先有局部解的 ODE，相同定义还要求所选足够小初值的解能延拓到全部正时间。证明不稳定时，只要任意小的初值扰动都能在解仍存在时离开某个固定邻域便已足够，无须等到可能的爆破时刻。

离散系统 $x_{k+1}=F(x_k)$ 使用相同的定义：把 $\varphi_t$ 换成 $F^k$ ，把全部正时间的量词换成整数 $k\ge0$ ，指数因子相应为 $e^{-\alpha k}$ 。对非自治演化 $\varphi_{t,t_0}$ ，还须说明常数是否依赖起始时刻；若 $\delta$ 或指数界中的 $C,\alpha,r$ 可对全部 $t_0$ 共用，称相应的稳定性为一致的。一个时变系统族的共同证书则进一步要求这些常数对全部允许参数轨道共用。

直觉

稳定性要求轨道从一开始就留在指定范围内：给定允许的偏差 $\varepsilon$ ，可以找到足够小的初值范围 $\delta$ ，使整个未来都受控。吸引性关注长期归宿，允许先离开某个小邻域再返回。渐近稳定同时要求全程控制与最终返回，指数稳定进一步给出统一的衰减速度。

例子与边界

$x'=-x$ 的零点指数稳定， $x'=0$ 的每个点稳定但不吸引， $x'=x$ 的零点不稳定。线性系统 $x'=Ax$ 在所有特征值实部严格为负时指数稳定。对 $C^1$ 非线性系统，线性化的特征值实部全负给出局部指数稳定，存在正实部特征值则给出不稳定。零实部方向上的行为取决于高阶项。以线性化为零的 $x'=-x^3$ 为例，其解为

x(t)=\frac{x_0}{\sqrt{1+2x_0^2t}}.

它始终满足 $|x(t)|\le|x_0|$ ，并趋于零，故零点渐近稳定；但非零解仅按 $t^{-1/2}$ 衰减，不能由固定 $Ce^{-\alpha t}|x_0|$ 控制，所以不是指数稳定。与它有同一个零线性化的 $x'=x^3$ 却向外逃逸，说明零特征值处必须检查非线性项。

对 $\mathbb R^n$ （ $n\ge1$ ）中开集上的自治 ODE $x'=f(x)$ ，设 $f$ 局部 Lipschitz，取 $C^1$ 的 Lyapunov 函数 $V$ ，满足 $V(x_*)=0$ 且邻域内其余点 $V>0$ 。若 $\dot V=\nabla V\cdot f\le0$ ，可用紧球面的极值定理证明稳定：对足够小的 $\varepsilon$ ，球面上的最小值 $m_\varepsilon$ 严格为正；再由 $V$ 的连续性选 $\delta$ ，使初始距离小于 $\delta$ 时 $V(x_0)<m_\varepsilon$ 。沿轨道 $V$ 不增，所以轨道不能首次碰到该球面，并在内部紧子集中继续延拓。若 $\dot V$ 在去掉平衡点的邻域内严格为负，局部紧性与连续性进一步给出渐近稳定。仅有半负定时，LaSalle 原理在紧的正向不变集合内研究 $\dot V=0$ 中的最大不变子集；不能仅凭半负定就断言收敛到平衡点。

离散时间有不需求导的对应证书。设 $F$ 把包含原点邻域的可行集 $S\subseteq\mathbb R^n$ 映回自身， $F(0)=0$ 。若某个非负函数 $V$ 满足 $V(F(x))\le V(x)$ ，在 $S$ 上有 $V(x)\ge a\|x\|^2$ ，并在原点邻域有 $V(x)\le b\|x\|^2$ ，其中 $a,b>0$ ，则

a\|F^k(x_0)\|^2\le V(F^k(x_0))\le V(x_0)\le b\|x_0\|^2

直接给出稳定性。若还满足 $V(F(x))-V(x)\le-c\|x\|^2$ 、 $c>0$ ，累加后 $\sum_k\|F^k(x_0)\|^2<\infty$ ，于是轨道趋零。这里同时使用了可行集不变、原点附近的上界以及全轨道的下降，不能只检查其中一项。

系统 $x'=-x+x^3$ 的原点局部渐近稳定。取 $V=x^2/2$ ，在 $0<|x|<1$ 内有 $\dot V=-x^2+x^4<0$ 。当 $|x_0|>1$ 时，令 $y=x^{-2}$ ，方程化为 $y'=2y-2$ ，所以

y(t)=1+(x_0^{-2}-1)e^{2t}.

它在

T=\frac12\log\frac{x_0^2}{x_0^2-1}

降到零，对应 $|x(t)|\to\infty$ 。这些轨道确定地在有限时间爆破，清楚区分了原点附近的稳定性与全空间的长期行为。

理想无阻尼振子则提供稳定但不吸引的例子：能量沿轨道恒定，非零轨道始终在能量曲线上运动。

推论与应用

线性状态反馈将稳定性判据用于设计：选择 $K$ ，让闭环矩阵 $A-BK$ 的全部特征值实部为负。不可控模态不随反馈移动，因此可稳定化的系统要求这些模态本来就稳定。

LQR进一步用积分代价比较稳定控制器。例如对 $x'=u$ 采用 $u=-kx$ 、 $k>0$ ，闭环解为 $x(t)=x_0e^{-kt}$ ，而

J=\int_0^\infty(x^2+u^2)\,dt =\frac{1+k^2}{2k}x_0^2.

所有这些反馈都使原点指数稳定，代价却在 $k=1$ 时最小：过小的 $k$ 消除偏差慢，过大的 $k$ 消耗更多控制能量。

共同二次 Lyapunov 证书把这种能量推理扩展到参数随时间变化的线性系统：同一个常矩阵 $P\succ0$ 若在所有顶点满足下降不等式，就控制它们的任意可测凸组合，给出统一指数衰减。各顶点分别 Hurwitz 并不足以保证这一点。加入扰动后，积分耗散不等式还给出输出能量界；非零初态的储能 $x_0^{\mathsf T}Px_0$ 必须保留。

参考资料

Jiří Lebl, Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers, 作者在线版，§8.2 Stability and classification of isolated critical points，稳定性定义、线性化与中心的边界；访问于 2026 年。
P. Al Hokayem and E. Gallestey, Nonlinear Systems and Control, ETH Zürich 课程讲义，2018，Chapter 3: Lyapunov Stability Theory，§3.2 Stability of Autonomous Systems，Definition 3.1 与 Lyapunov 直接法。

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