组合

从十名学生中选三人委员会，结果是三人的集合；写成 $(a,b,c)$ 或 $(c,a,b)$ 只是两条不同的选人记录。若委员会没有职位差别，这两条记录应合并为同一个结果。

公式的关键是每个结果有相同数量的记录。用乘法原理理路乘法原理Product rule · Multiplication principle分阶段且每阶段选择数固定时，总数等于各阶段选择数之积。依次选择 $k$ 个不同元素，共有 $n(n-1)\cdots (n-k+1)$ 条有序记录；固定一个 $k$ 元子集，其元素恰好能写成 $k!$ 条记录，这里的 $k!$ 是阶乘理路阶乘Factorial前 n 个正整数的乘积 n!，并约定 0!=1。。例如固定委员会 $\{a,b,c\}$，其记录恰为 $abc,acb,bac,bca,cab,cba$；换另一支三人委员会仍恰有六条。每条记录只属于它所选出的那支委员会，因此全部记录被分成等大的组，除以 $k!$ 才得到组合数。

从 $\{a,b,c,d,e\}$ 选两人，共有 $5\cdot 4/2!=10$ 种：

这里 $ab$ 简写集合 $\{a,b\}$。若改为选主席和秘书，$ab$ 与 $ba$ 表示不同任职方案，便不能除以 $2$。同一批候选人的结果模型不同，计数也随之改变。

空子集只有一个，全集也只有一个，所以 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})=1$。若把 $k$ 扩展到任意整数，通常约定 $k<0$ 或 $k>n$ 时 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=0$，表示不存在相应子集；这时不能直接套含负整数阶乘的分式。

“从三种口味中买两球冰淇淋”若允许两球同味，结果应是多重集合：三种同味加三种异味，共六种，而 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})=3$ 只数了异味部分。若商店只有一球香草、两球巧克力，合法的两球口味组合只有“香草加巧克力”和“两球巧克力”。

若把香草记为 $v$，把巧克力编号为 $c_1,c_2$，从三球中选两球得到 $\{v,c_1\},\{v,c_2\},\{c_1,c_2\}$：前两组都对应“香草加巧克力”，最后一组才对应“两球巧克力”。两个可见结果分别有两份和一份记录，不能统一除以 $2!$。计数前必须先确定哪些结果被视为相同，再检查每类库存上限。

给 $A$ 的元素固定编号后，每个组合都唯一对应一个长度 $n$、恰含 $k$ 个 $1$ 的指示串。取补集又把 $k$ 元子集与 $(n-k)$ 元子集配对，立即得到 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k})$；这是二项式系数理路二项式系数Binomial coefficientn 元集合的 k 元子集数，记作 C(n,k)。对称性的对象解释。

可重复选择用隔板法理路隔板法Stars and bars把相同对象分入有标号盒子的整数解计数方法。处理；把全体元素划分为多个不相交的无序块则属于集合划分理路集合划分Set partition把集合表示为两两不交非空块且其并为全体的块族。。后者还要处理块之间的对称性，不能直接把单个组合公式重复套用。