向量场的流

向量场给每点一支瞬时速度箭头，流把这些箭头积分为随时间移动点的位置。唯一性保证同一初值不会产生两条不同轨道，也使“先流动 $s$、再流动 $t$”与一次流动 $s+t$ 相同。局部群律不是额外公理，而是自治方程的时间平移性与解唯一性共同带来的结果。

“最大”表示每条积分曲线已延伸到不能再延伸的开时间区间；它不表示区间必为整条实线。流的定义域必须同时记录时间和初始点，因为不同初值可能在不同时间抵达流形边界或逃向无穷。

在 $\mathbb{R}$ 上取

积分曲线满足 $x^{\prime }=x$，所以

它对所有 $t,x$ 有定义，故 $X$ 完整。相反，$X=x^2{\partial }_x$ 的解为

这个最大流的定义域是 $\mathcal{D}=\{(t,x):1-tx>0\}$：每个初值只取包含 $t=0$ 的那一段时间区间，不能越过极点后继续使用同一有理式。$x=0$ 时解恒为零，对所有时间存在；非零初值则在某一时间方向上有限时爆破。因此向量场虽处处光滑，却不完整。

局部流的群律只在组合有定义时成立，不能把 ${\mathrm{\Phi }}_t$ 无条件写成全局自同构。积分曲线也不能相交后再分叉：若两条曲线在某时刻到达同一点，唯一性迫使它们在共同定义区间内只是时间平移。非自治方程 $x^{\prime }=f(t,x)$ 一般需要扩充时间坐标后才能用本页的自治流语言。

紧流形上的光滑向量场总完整，因为轨道不能在有限时间逃出所有紧集；非紧流形则没有这个保证。完整性是全局结论，不能从局部 Lipschitz 或Picard–Lindelöf 定理理路Picard–Lindelöf 存在唯一性定理Picard-Lindelof theorem · Cauchy-Lipschitz theorem连续且对状态变量局部一致 Lipschitz 的向量场给出常微分方程初值问题的唯一局部解。单独推出。

流把微分方程的轨道组织成局部一参数变换，可用来定义不变集、轨道、稳定性和连续对称。向量场 $X$ 对函数的作用也可由流恢复：

两个向量场的 Lie 括号衡量相应局部流交换次序的二阶偏差；括号为零时，在适当局部条件下两流对易。Riemann 几何中，测地线流把位置和速度放到切丛上演化；动力系统则把完整流视为连续时间系统的基本对象。

在一条非平凡周期轨道附近，Poincaré回归映射理路Poincaré回归映射与返回时间导数Poincaré return map · Poincare return map · 庞加莱回归映射以横截条件构造周期轨道附近的局部返回时间，推导返回映射的投影导数，并证明横向乘子与单周期变分矩阵的关系。选取一个横截面，再沿流等到下一次穿过它。横穿条件保证返回时间局部可微；返回时间随初值改变，所以截面导数需要投影修正，不能直接使用固定时间流的导数。

在询问一圈如何返回之前，紧轨道的omega极限集理路omega极限集与紧轨道的长期归宿Omega-limit set · ω-limit set · omega极限集用任意晚时刻的聚点定义omega极限集，证明紧正向轨道的非空、连通、双向不变及到集合距离趋零，并区分点极限、边界逃逸和稳定性。先用全部尾迹说明长期能去哪里。其不变性包括负时间：对趋向极限点的晚时刻序列作任意固定时间平移，再靠紧集延拓得到极限集上的全实线轨道。二维的闭轨存在定理理路Poincaré–Bendixson定理与平面闭轨存在Poincaré–Bendixson theorem · Poincare-Bendixson theorem · 庞加莱–本迪克松定理证明平面紧正向轨道的无平衡点omega集必为一条周期轨，用流盒、横截穿越次序和Jordan分离闭合证明，并构造非径向振子的环带存在证书。进一步使用横截穿越次序；这部分并不预设已有周期轨。

时间依赖向量场 ​

若速度随时间改变，写作光滑族 $X_t$，并用 ${\mathrm{\Psi }}_{t,s}(p)$ 表示从时刻 $s$ 的点 $p$ 出发、在时刻 $t$ 到达的位置。局部存在唯一性和光滑依赖仍适用，但正确关系变为

都在相应定义域上理解。一般不能只写时间差 $t-s$，也不能把 ${\mathrm{\Psi }}_{t,0}$ 当作满足自治群律的一参数作用。

在固定紧时间区间 $[0,1]$ 上，若全部 $X_t$ 的支集都落在同一个紧集理路紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。 $K$ 内，则解在整个区间存在：$K$ 外的点静止，其他轨道也不能有限时逃出所有紧集，局部延拓定理因此排除爆破。所得 ${\mathrm{\Psi }}_{t,0}$ 是从恒等映射出发的微分同胚族。同痕延拓使用的正是这一版本；“每个时刻分别有某个紧支集”不能代替共同的紧支撑控制。