射影空间

一个射影点允许多种成比例的坐标，而每张仿射图表通过把某个非零坐标化成 $1$ 来选代表。例如实射影平面中的 $[2:4:6]$，在 $x_0\ne 0$ 的图表里表示为 $(2,3)$，在 $x_1\ne 0$ 的图表里则表示为 $(1/2,3/2)$。两个数对看似不同，却描述同一条过原点的直线。

若第一张图的坐标是 $(u,v)$，即点为 $[1:u:v]$，那么在重叠区 $u\ne 0$ 上，第二张图坐标为 $(1/u,v/u)$。坐标比值说明图表怎样拼接；某张图中“走向无穷”的方向，可以在另一张图中成为普通有限坐标。

实射影直线 ${\mathbb{RP}}^1$ 同胚于圆，${\mathbb{RP}}^n\cong S^n/(x\sim -x)$。复射影空间则为 ${\mathbb{CP}}^n\cong S^{2n+1}/S^1$，不能误写成只除以正负号。齐次坐标全为零是不允许的。${\mathbb{RP}}^2$ 不可定向，而 ${\mathbb{CP}}^n$ 具有自然复流形结构。射影空间不等于向量空间：没有全局定义的点加法，标量代表元也不唯一。

在 ${\mathbb{RP}}^2$ 中，齐次坐标满足 $x_0\ne 0$ 的点可唯一写成

从而形成一个与 ${\mathbb{R}}^2$ 同胚的仿射图表；补集 $x_0=0$ 是一条 ${\mathbb{RP}}^1$，可视为无穷远直线。不同图表之间通过坐标比值过渡，而不存在覆盖全空间的单一仿射坐标系。

在一般域上，概形版的射影直线公理库概形与结构层Scheme · Structure sheaf · 概形在主开集上清分母证明结构层的粘合与茎公式，用双数区分拓扑点和局部环，再把两条仿射线粘成射影直线并计算全部全局正则函数。把 $\mathrm{Spec}k[t]$ 与 $\mathrm{Spec}k[u]$ 沿 $u=1/t$ 粘合。齐次坐标给出它的 $k$ 值点，但完整概形还含泛点等其他点及结构层。两片多项式在重叠处相容，迫使全局正则函数同时只有非负与非正的 $t$ 次幂，因而只能是常数；这个计算进一步证明射影直线不是仿射概形。

向量空间公理库向量空间Vector space标量域作用下满足线性公理的加法阿贝尔群。的非零向量按标量倍等价公理库等价关系Equivalence relation满足自反、对称和传递性的关系。得到射影点；实、复情形再借商拓扑研究其连续与光滑结构。仿射图表把某坐标非零的区域识别为仿射空间公理库仿射空间Affine space忘去原点但保留向量平移作用和仿射组合的空间。，代数几何用齐次多项式描述射影簇；计算机视觉则用射影变换统一透视与无穷远点。

要从一个几何对象构造到射影空间的映射，线性系公理库线性系与射影映射Linear system of sections · Base-point-free linear system用线丛截面的比值构造射影态射，定位投影的基点，并以平方映射区分基点自由与闭嵌入。说明坐标可由同一线丛的截面给出，并需检查共同无零点。使用全部次数 $d$ 单项式得到Veronese闭嵌入公理库Veronese 嵌入Veronese embedding由完整单项式线性系构造Veronese闭嵌入，逐图核验扭三次曲线的三条子式方程与超平面截面。；扭三次曲线的两张逆坐标图显示，这比只取各坐标的 $d$ 次幂保留更多信息。

椭圆曲线公理库椭圆曲线Elliptic curve带指定有理点的光滑射影亏格一曲线；由短 Weierstrass 方程推导点加法，并完整计算一个九点有限群。提供一个具体例子：把 $y^2=x^3+Ax+B$ 齐次化后，在无穷远直线上恰好补入 $O=[0:1:0]$。这个点成为曲线群律的零元；该运算来自曲线结构，不是整个射影平面的点加法。