问题条件性与条件数

条件数问的是：即使有一位理想计算者精确解题，只把输入轻轻移动，正确答案会移动多远？若答案剧烈变化，问题病态；若变化同量级，问题良态。它评价的是问题地图的局部伸缩，而不是某段程序跑得好不好。

输入数据通常已经含有测量或表示误差。若相对输入不确定度约为 $\epsilon$，一阶预测的相对输出变化尺度是 $\kappa \epsilon$；当该乘积不再远小于 $1$ 时，线性化本身也需要用有限扰动界复核。稳定算法能避免再制造远大于数据敏感性的误差，却不能从不确定数据中恢复不存在的信息。

取 $F(t)=|t|$，在 $t=0$ 处没有导数，但对每个非零扰动 $h$，都有 $|F(h)-F(0)|/|h|=1$。因此按定义直接得到 ${\kappa }_{\mathrm{abs}}(F,0)=1$；此处输入和输出都为零，相对条件数的归一化没有定义。这个例子把条件数本身与可微时的导数计算公式分开。

对 $F(x)=1/x$，绝对条件数为 $1/|x{|}^2$，在零附近迅速增大；相对条件数却恒为 $1$，因为输入和输出都按自身尺度归一化。同一个例子说明“病态”必须连同绝对或相对度量一起说，不能只看导数大小。

相减映射 $F(x,y)=x-y$ 在逐分量相对扰动下的一阶相对条件数是

例如 $x=1.00000001$、$y=1$ 时，真差为 ${10}^{-8}$，而条件数约为 $2.00000001\times {10}^8$：操作数各有 ${10}^{-10}$ 量级的相对不确定度，就足以让差的相对误差达到百分数级。消去误差理路消去误差与稳定重写Cancellation and stable reformulation · Catastrophic cancellation解释相近量相减为何会放大已有误差，并用等价公式、缩放和专用函数改造有限精度计算路径。页面讨论算法如何避免在可重写的问题中额外触发这种放大；这里的条件数只陈述“由这两个近似输入求差”本身的敏感性。

多项式 $p(t)$ 的简单根 $r$ 对函数值扰动的一阶敏感性含有 $1/|p^{\prime }(r)|$。当两个根合并成重根时 $p^{\prime }(r)=0$，根对系数或函数扰动会异常敏感；这属于求根问题的条件性，不是 Newton 或其他算法单独造成。

参数化也会改变相对条件数。正数可直接用 $x$ 表示，也可写成 $x=e^z$；在 $z$ 坐标中加性扰动对应 $x$ 上的乘性扰动。两种问题输入空间的度量不同，所得条件数自然不同，不能跨表示直接比较。

若算法产生大小为 $\eta$ 的相对后向误差，一阶上常得到“相对前向误差约不超过 $\kappa \eta$”。精确关系见前向误差与后向误差理路前向误差与后向误差Forward and backward error分别衡量计算答案离真解多远，以及它能否视为邻近输入问题的精确解。；算法稳定性理路数值稳定性Numerical stability以允许的小输入扰动刻画算法的有限精度行为，并与问题条件性及其他稳定性概念分开。控制 $\eta$，问题条件性控制从 $\eta$ 到前向误差的放大，两项不能互相代替。

线性方程、最小二乘和特征值问题会各自发展结构化条件数。它们都应从本页的通用定义出发，再指定允许扰动哪些数据、使用什么范数；不能把算法的增长因子、迭代次数或残差大小冒充条件数。