Slutsky 定理

证明骨架 ​

先处理差 $Y_n-c=o_P(1)$，这里 $o_P(1)$ 表示依概率趋零。对任意有界连续测试函数 $f$，$X_n$ 的紧性使其高概率落在某个紧集，而 $Y_n$ 高概率靠近 $c$；$f$ 在相应紧邻域上一致连续，所以

有界性把依概率收敛提升为期望差趋零，而 $X_n\stackrel{d}{\to }X$ 处理 $f(X_n,c)$，得到联合收敛。和、积、商只是选择具体连续 $g$。

这一路径展示了分母条件：$g(x,y)=x/y$ 在 $y=0$ 不连续，只有 $c\ne 0$ 才可直接应用。

设观测独立同分布、均值为 $\mu$、方差满足 $0<{\sigma }^2<\mathrm{\infty }$。中心极限定理公理库中心极限定理Central limit theorem适当归一化的独立随机变量和在分布上趋于正态分布。给出

而样本标准差 $S_n\stackrel{p}{\to }\sigma >0$，则

这里两个统计量来自同一样本，通常有关联；但 $S_n/\sigma$ 的波动最终缩到常量一，足以完成替换。例如独立 Bernoulli 样本在固定 $0<p<1$ 下可用 $\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})}$ 估计 $\sigma =\sqrt{p(1-p)}$，得到常见的样本比例标准化式。若样本全为零或全为一，分母为零，须另定义统计量；这些事件的概率 $(1-p{)}^n+p^n$ 趋零，任意有限赋值均不改变极限，却不能据此宣称小样本区间可靠。

有限样本统计量一般不精确正态，结论只在 $n\to \mathrm{\infty }$ 下成立。正态观测下的相应统计量有精确 $t$ 分布，那是额外的有限样本结论。

若 ${\hat{V}}_n\stackrel{p}{\to }V>0$ 且 $\sqrt{n}({\hat{\theta }}_n-{\theta }_0)\stackrel{d}{\to }N(0,V)$，同理得到 studentized 枢轴

该替换也可用随机阶记号表达：若 $X_n=O_P(1)$（以高概率保持有界）且 $Y_n-c=o_P(1)$，则 $X_n(Y_n-c)=o_P(1)$。于是 $X_n{Y}_n=c{X}_n+o_P(1)$，只要 $X_n$ 已有分布极限，微小乘法误差不会改变它。这一步仍要求 $X_n$ 紧，不能把一个可能爆炸的量与 $o_P(1)$ 相乘后武断地丢掉。

边界与失败情形 ​

若 $X_n\stackrel{d}{\to }X$、$Y_n\stackrel{d}{\to }Y$ 且两个极限都随机，只知道边缘收敛不足以推出和或积的极限。依赖结构可能随 $n$ 改变；需要联合收敛或额外独立条件。

例如令 $X_n=Z$。一种构造取 $Y_n=Z$，另一种取 $Y_n=-Z$，两者边缘都为同一对称分布，但 $X_n+Y_n$ 分别为 $2Z$ 与零。边缘极限完全相同，组合结果不同。

若分母极限为零，商可能发散或出现别的缩放极限。即使 $P(Y_n=0)=0$ 对每个 $n$，也不能绕过 $g$ 在极限点不连续的问题。

独立性既非必要也不能替代常量极限。若 $Y_n=X_n$ 且两者趋向同一非退化 $X$，依赖关系完全已知时可由联合收敛得到 $X_n{Y}_n\to X^2$；若只知道它们渐近独立，则需明确证明联合极限为乘积分布。

依概率趋于随机变量 $Y$ 时，若同时拥有 $(X_n,Y_n)$ 的联合收敛并且 $g$ 几乎处处连续，连续映射仍可用；不能只引用最简常量版本省略联合条件。

Slutsky 定理是 plug-in 标准误、Wald 统计量公理库Wald、Score 与 LR 渐近检验Wald test · Score test · Lagrange multiplier test用估计量距离、零点梯度或似然差构造的三类正则大样本检验。和 nuisance 参数替换的基本接口。它只保证极限分布不变，不提供替换造成的有限样本误差大小。

与Delta 方法公理库Delta 方法Delta method用可微映射的一阶 Taylor 展开传播估计量的渐近分布与协方差。结合时，先线性化估计函数，再用 Slutsky 替换未知 Jacobian 或协方差；每个替换量都需一致估计；只有涉及除法或矩阵求逆时，才额外要求极限非零或非奇异。

常用等价表述是：若 $X_n\stackrel{d}{\to }X$ 且 $X_n-Z_n\stackrel{p}{\to }0$，则 $Z_n\stackrel{d}{\to }X$。取 $Y_n=Z_n-X_n$ 应用和的结论即可。这允许把复杂统计量替换为已知极限的渐近线性主项，但必须真正证明差在概率意义下消失。