Kraus 表示 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $X,Y$ 是非零有限维复内积空间， $\Phi:\mathcal L(X)\to\mathcal L(Y)$ 为线性映射。它是完全正映射，当且仅当存在有限个算子 $K_j:X\to Y$ ，使

\Phi(A)=\sum_{j=1}^m K_jAK_j^\dagger\qquad(A\in\mathcal L(X)).

这称为 Kraus 表示或算子和表示。在此表示下， $\Phi$ 是量子信道当且仅当

\sum_jK_j^\dagger K_j=I_X.

若只要求对半正定输入保持迹不增，相应条件为 $\sum_jK_j^\dagger K_j\preceq I_X$ 。同一信道可以有多组 Kraus 算子。

固定 $X$ 的正交基，以未归一化向量 $|\Omega\rangle=\sum_{i=1}^{d_X}|i\rangle|i\rangle$ 定义 Choi 算子

J(\Phi)=(\Phi\otimes\mathrm{id}_X)(|\Omega\rangle\langle\Omega|) =\sum_{i,k}\Phi(|i\rangle\langle k|)\otimes|i\rangle\langle k|.

这里的空间顺序是 $Y\otimes X$ ，即输出在前、输入副本在后。最少所需的 Kraus 算子数为 $\operatorname{rank}J(\Phi)$ ，因此不超过 $d_Xd_Y$ 。零映射可用空和表示；非零信道至少需要一个算子。信道的 $\operatorname{Tr}J=d_X$ ；若改用归一化的最大纠缠态，所得算子是 $J/d_X$ ，不能混用这两种归一化。

直觉

每个 $K_j$ 描述一条可能泄露到环境的振幅分支。观察者只拿到输出系统、没有拿到环境标签时，应将各分支的密度算子相加。求和发生在 $K_j\rho K_j^\dagger$ 上，而不是先把 $K_j$ 加起来再作用；后一种写法会引入原本不存在的分支间干涉。

给定一组 Kraus 算子，可引入有正交基 $|j\rangle_E$ 的环境并定义

V|\psi\rangle=\sum_jK_j|\psi\rangle\otimes|j\rangle_E.

完备性等式正好给出 $V^\dagger V=I_X$ ，所以 $V$ 是等距嵌入。利用偏迹，

\operatorname{Tr}_E(V\rho V^\dagger)=\sum_jK_j\rho K_j^\dagger=\Phi(\rho).

这把“完全正、保持迹”落实为“相干地嵌入较大空间，再丢弃环境”。若输入输出维数相同，可在加入固定初态的辅助系统后，把该等距作用补成整个联合空间上的酉算子；一般维数不同的情形，等距嵌入本身已经是准确的表示。

例子与边界

振幅阻尼：激发衰减到基态

取 $0\le\gamma\le1$ ，令

K_0=\begin{pmatrix}1&0\\0&\sqrt{1-\gamma}\end{pmatrix},\qquad K_1=\begin{pmatrix}0&\sqrt\gamma\\0&0\end{pmatrix}.

两者的 $K_j^\dagger K_j$ 分别为 $\operatorname{diag}(1,1-\gamma)$ 与 $\operatorname{diag}(0,\gamma)$ ，和为 $I$ 。对 $\rho=\begin{pmatrix}a&c\\\bar c&1-a\end{pmatrix}$ ，直接计算得

\Phi_\gamma(\rho)=\begin{pmatrix} a+\gamma(1-a)&\sqrt{1-\gamma}\,c\\ \sqrt{1-\gamma}\,\bar c&(1-\gamma)(1-a) \end{pmatrix}.

$\gamma=0$ 是恒等信道， $\gamma=1$ 将所有输入送到 $|0\rangle\langle0|$ 。取 $\gamma=3/4$ 、输入 $|+\rangle\langle+|$ ，输出为

\begin{pmatrix}7/8&1/4\\1/4&1/8\end{pmatrix}.

其迹为 $1$ ，行列式为 $3/64>0$ ，因此是秩二混态。输入虽然纯，丢弃环境后仍会变混。若实际测量环境并把 $j=1$ 解释为衰减事件，事件概率为 $\operatorname{Tr}(K_1\rho K_1^\dagger)=\gamma(1-a)$ ；对应效应是 $K_1^\dagger K_1$ ，不是 $K_1$ 。

同一信道的分支并不唯一

去相位可用 $K_0=|0\rangle\langle0|$ 、 $K_1=|1\rangle\langle1|$ 表示，也可用

L_0=I/\sqrt2=(K_0+K_1)/\sqrt2,\qquad L_1=Z/\sqrt2=(K_0-K_1)/\sqrt2

表示。展开 $\sum_jL_j\rho L_j^\dagger$ ，交叉项抵消，得到同一个去相位信道。第二种实现可以看成以等概率施加 $I$ 或 $Z$ ，第一种则可对应计算基测量后遗忘结果；相同的输出规则不决定装置究竟记录了什么事件。

一般地，把两组表示补零到相同长度后，它们表示同一 CP 映射当且仅当可由 Kraus 索引上的酉混合联系。索引只有在具体指定环境测量和结果记录方式之后，才成为物理实验中的结果标签。

推论与应用

表示定理的构造证明

若 $\Phi$ 完全正，则 $J(\Phi)\succeq0$ 。由有限维谱定理，可将非零特征值吸收到向量长度中，写成 $J=\sum_{j=1}^r|v_j\rangle\langle v_j|$ ，其中 $r=\operatorname{rank}J$ 。按输出、输入坐标将每个向量重排成矩阵：

|v_j\rangle=\sum_{b,i}(K_j)_{bi}|b\rangle_Y|i\rangle_X.

比较 $J$ 中第二个张量因子的 $|i\rangle\langle k|$ 系数，得到

\Phi(|i\rangle\langle k|)=\sum_jK_j|i\rangle\langle k|K_j^\dagger.

矩阵单位张成全部算子，故公式对每个 $A$ 成立。反过来，对任意 $P\succeq0$ 与任意辅助空间，

(\Phi\otimes\mathrm{id})(P)=\sum_j(K_j\otimes I)P(K_j^\dagger\otimes I)\succeq0,

因而算子和表示保证完全正性。这也说明仅检验 $J\succeq0$ 已足够：从这个单一扩展输入出发，就能构造对所有辅助空间都合法的表示。

任意 $m$ 项表示都给出 $J=\sum_{j=1}^m|K_j\rangle\!\rangle\langle\!\langle K_j|$ ，由秩的次可加性得 $\operatorname{rank}J\le m$ ；上述谱构造恰用 $r$ 项，证明最小数目。最后，迹的循环性给出

\operatorname{Tr}\Phi(A)=\operatorname{Tr}\left(A\sum_jK_j^\dagger K_j\right).

对所有 $A$ 保持迹等价于完备性等式；对所有 $A\succeq0$ 迹不增等价于相应算子不等式。

一般纠错判据对码空间上的Kraus重叠矩阵作酉变换，将有效误差变成正交综合；零特征值分支在码上消失，其余分支给出完整恢复信道。

本页的 Choi 表示还可识别一种特殊噪声。纠缠破坏信道等价于归一化 Choi 态在输出与输入副本间可分，也等价于测量后重新制备。应用反演公式时须保持本页的空间顺序与 $J/d_X$ 归一化，才能正确恢复 POVM 的完备性条件。

参考资料

John Watrous, The Theory of Quantum Information, Cambridge University Press, 2018，§2.2.2，Theorem 2.22、Corollaries 2.23 与 2.27，完全正映射、表示非唯一性与信道表示。
John Preskill, Lecture Notes for Ph219/CS219: Quantum Information, Chapter 3, “Foundations II: Measurement and Evolution”，2018 年 10 月修订版，§§3.3.1–3.3.2、§3.4.3，算子和表示与振幅阻尼。

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振幅阻尼：激发衰减到基态 ​

同一信道的分支并不唯一 ​

表示定理的构造证明 ​

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