复可微性

复可微的线性主部是乘以一个复数理路复数Complex number形如 a+bi 的数，按坐标规则构成实数域的二次扩张。。若 $f^{\prime }(z_0)=a+ib$，在实坐标下这个主部的矩阵就是

它将小位移统一旋转并缩放；导数非零时保持夹角，导数为零时则把一阶变化全部压成零。一般的实可微映射允许任意 $2\times 2$ 矩阵作主部，Cauchy–Riemann 方程恰好把矩阵限制为上述形状。

$f(z)=z^2$ 处处复可微：差商 $\frac{(z_0+h{)}^2-z_0^2}{h}=2z_0+h\to 2z_0$，与方向无关。反面标准例是共轭 $f(z)=\overline{z}$：差商 $\overline{h}/h$ 沿实轴恒为 $1$、沿虚轴恒为 $-1$，故它在任何点都不复可微——尽管作为 ${\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 的映射它是处处光滑的线性映射。

$f(z)=|z{|}^2=z\overline{z}$ 展示单点与开集的区别。它在 $z_0$ 的差商为 ${\overline{z}}_0+z_0\overline{h}/h+\overline{h}$。当 $z_0=0$ 时，差商趋于零；当 $z_0\ne 0$ 时，沿实、虚方向得到不同极限。因此它只在原点复可微，在任何开集上都不全纯。

Cauchy–Riemann 方程还要与实可微性结合。令 $g(0)=0$、$g(z)=z^5/|z{|}^4$（$z\ne 0$）。沿两条坐标轴有 $g(x)=x$、$g(iy)=iy$，所以原点处的偏导满足 CR 方程；但沿 $z=r{e}^{i\theta }$，差商为 $g(z)/z=e^{4i\theta }$，随方向变化。它缺少的正是统一的实线性近似。若偏导在邻域存在并在该点连续，则实可微性成立，此时该点的 CR 方程即可推出复可微。

在开集上逐点成立的复可微性就是全纯性理路全纯函数Holomorphic function · Complex analytic function在复平面开集的每一点都复可微的函数。。Cauchy 积分公式理路Cauchy 积分定理与公式Cauchy integral theorem · Cauchy integral formula全纯函数在可缩闭路上的积分为零，并可由边界积分重建内部值与所有导数。从边界值恢复内部值，并由此推出全纯函数有任意阶复导数及局部幂级数理路解析幂级数Power series · Analytic power series在实数或复数中按收敛半径定义函数的幂级数。展开。这些结论使用的是开集上的全纯性；一般实可微函数理路Fréchet 可微性Differentiability · Fréchet differentiability赋范空间之间的映射在一点能被单一有界线性主部一致逼近的性质。则可以具有不连续的导数。

对全纯函数，Cauchy–Riemann 方程理路Cauchy–Riemann 方程Cauchy–Riemann equations把复可微性转化为实部和虚部偏导之间的兼容条件。进一步给出 $u_{xx}+u_{yy}=v_{yx}-v_{xy}=0$，虚部同理，所以实部与虚部都是调和函数。导数非零处的保角性与这一调和结构，使复分析能够描述平面流动及静电位势。