Fourier 变换

Fourier 变换询问一个函数与每个纯频率 $e^{2\pi ix\cdot \xi }$ 的相关程度。非周期空间没有整数频率格，频率参数因此连续。平移在频域只改变相位，微分成为乘法，卷积也成为逐点乘法；这正是频域能把许多全局相互作用“对角化”的原因。

频谱包含幅度与复数公理库复数Complex number形如 a+bi 的数，按坐标规则构成实数域的二次扩张。相位。平移函数只改变相位，因此相位记录着位置关系；逆变换将各频率按这些相位重新叠加，恢复原函数。保留幅度而丢弃相位，会把某些位置不同的函数视为同一份数据。

在本页约定下，Gaussian $f(x)=e^{-\pi |x{|}^2}$ 满足 $\hat{f}(\xi )=e^{-\pi |\xi {|}^2}$。它展示空间扩散与频率集中之间的平衡，也说明某些函数族在变换下保持形状。

取 $f={\mathbf{1}}_{[-1/2,1/2]}$，直接积分得到

$f$ 可积，变换却因 $1/|\xi |$ 量级的振荡尾部而不绝对可积。这说明 $f\in L^1$ 与逆积分绝对收敛是两个不同条件。

常数函数和纯指数可通过缓增分布理论变换为频域点质量。有限序列上的 DFT 则使用有限个离散频率，索引按周期延拓，因而把循环卷积变成逐点乘法。

上述连续卷积定理使滤波、概率独立和与线性平移不变系统在频域中化为乘法。偏微分方程中，空间导数变成多项式乘子，方程可按频率求解；概率论中的特征函数则是采用另一符号约定的概率测度 Fourier 变换。

Fourier 乘子公理库Fourier 乘子与平方可积估计Fourier multiplier · L2 Fourier multiplier把频域逐点乘法搬回函数空间，证明L2乘子范数恰为符号的本质上确界，并用一个有界逆乘子构造二阶弱解。把这里的“频域乘法”变成一个精确的 $L^2$ 算子接口：本质有界符号的算子范数恰好等于符号的本质上确界；微分的无界符号则需要限制输入空间。以 $(1+4{\pi }^2|\xi {|}^2{)}^{-1}$ 为符号，可以构造 $(1-\mathrm{\Delta })u=f$ 的唯一平方可积二阶弱解。

Fourier 级数公理库Fourier 级数Fourier series · 傅里叶级数把周期函数投影到整数频率的正交指数基上所得的离散频谱展开。处理周期函数的离散频谱，Plancherel 定理公理库Plancherel 定理Plancherel theoremFourier 变换从稠密子空间唯一延拓为 L² 上保持内积与范数的酉算子。描述连续频域中的能量保持。FFT公理库快速 Fourier 变换Fast Fourier transform · FFT利用单位根的偶奇分解在 $O(n\log n)$ 时间计算离散 Fourier 变换。高效计算有限 DFT；用于近似连续变换时，采样步长、窗口长度与频率截断决定离散结果如何对应原函数。