Jackson 排队网络

先算访问率而非外部流量，是因为同一个客户可能多次经过节点。流量方程只做守恒；乘积形定理还需要指数服务和独立固定路由所产生的特殊平衡结构。

证明可直接检查整个网络的平衡。先限制到 ${\mathrm{\Lambda }}_i>0$ 的节点；零访问率节点没有外部流入，也不会收到任何正访问率节点的路由，稳态时其人数为零。令 $a_{\mathrm{\Sigma }}=\sum _i{a}_i$。在人数向量 $n$ 处，将各类流入率除以候选概率 $\pi (n)$，从离网流入的总贡献是

对每个 $n_i>0$，外部到达与其他节点路由到 $i$ 的贡献合起来是

故总流入等于 $\pi (n)[a_{\mathrm{\Sigma }}+\sum _{i:n_i>0}{\mu }_i(1-p_{ii})]$，恰是总流出；服务后回到同一节点的选择不改变人数，是被抵消的空转事件。各 ${\rho }_i<1$ 保证乘积式可归一化。

因为整个网络的速率有共同有限上界，可以使用均匀化公理库连续时间链的均匀化Uniformization · Randomization method for CTMC · 均匀化用共同 Poisson 时钟和自环表示有界速率连续时间链，并以 Poisson 尾控制数值截断误差。：若生成数组为 $Q$，取 $\nu >0$ 足够大，$R=I+Q/\nu$ 是离散转移核。刚才的平衡给 $\pi Q=0$，因而 $\pi R=\pi$，再对 Poisson 加权的 $R^k$ 求和便有 $\pi P(t)=\pi$。这一步把形式平衡解变成真正的平稳分布，并没有预先假设反馈后的所有内部到达流相互独立。

有两个节点，外部只以速率 $a>0$ 进入节点 1。节点 1 完成后以概率 $1/2$ 去节点 2，否则离开；节点 2 完成后以概率 $1/4$ 回节点 1，否则离开。因此

取服务速率 ${\mu }_1=2a$、${\mu }_2=a$，两个节点负载均为 $4/7$。每个节点平均人数为 $(4/7)/(3/7)=4/3$，网络总平均人数为 $8/3$。按外部客户的整个旅程应用Little 定律公理库Little 定律Little law从同一批顾客的占用面积推出平均人数等于有效到达率乘平均逗留时间，并明确系统边界。，平均从入网到离网的时间为 $8/(3a)$。

还可以逐节点核验。每次节点 1 访问平均停留 $1/(2a-8a/7)=7/(6a)$，节点 2 为 $1/(a-4a/7)=7/(3a)$。每个外部客户平均访问次数分别是 ${\mathrm{\Lambda }}_1/a=8/7$ 与 ${\mathrm{\Lambda }}_2/a=4/7$，加权相加恰为 $8/(3a)$。这一步避免把每次访问的等待误当成整个客户的等待。

若只检查 $a_i<{\mu }_i$，会漏掉内部回流。上例节点 2 没有外部到达，仍承担正负载。若路由永不离网，谱半径为一，开放网络的逆矩阵和归一化公式均不适用，应另建封闭网络模型。

一般服务时间、有限容量阻塞、完成后同时占用多个节点等改动，通常会破坏本页的乘积形。某些更广的网络仍有乘积形，但需要另一个定理，不能沿用 Jackson 条件的名字。

Jackson 网络将稳定性检查分成“流量是否有限”和“每个节点容量是否足够”两步，再计算稳态拥堵。它提供的是长期分布，不直接描述突发流量后的瞬态恢复，也不意味着忽略路由相关性就能正确模拟。