Schwartz 分布 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $\Omega\subset\mathbb R^n$ 为开集，测试函数空间记为 $\mathcal D(\Omega)=C_c^\infty(\Omega)$ 。Schwartz 分布是线性映射 $T:\mathcal D(\Omega)\to\mathbb R$ ，并满足以下紧集上的连续性估计：对每个紧集 $K\subset\Omega$ ，存在 $C_K\ge0$ 和非负整数 $m_K$ ，使

|\langle T,\varphi\rangle| \le C_K\max_{|\alpha|\le m_K}\|D^\alpha\varphi\|_\infty, \qquad \operatorname{supp}\varphi\subset K.

这里 $D^\alpha$ 是多重指标表示的偏导数。常数与阶数可以依赖 $K$ ，不要求存在统一的全局有限阶数。所有分布构成 $\mathcal D'(\Omega)$ ，它是测试函数空间的连续对偶空间，不是任意代数线性泛函的集合。复数情形可同样采用复线性配对。

连续性对应的测试函数拓扑有两项同时变化的控制： $\varphi_j\to\varphi$ 当且仅当所有支集落在同一个紧集 $K\subset\Omega$ 内，且对每个 $\alpha$ ， $D^\alpha\varphi_j\to D^\alpha\varphi$ 一致收敛。这是通常测试函数拓扑的序列收敛判据；拓扑本身由固定紧支集空间的局部凸归纳极限给出。对线性 $T$ ，上述紧集估计也等价于保持这种序列收敛。它没有把 $\mathcal D$ 当作仅配一个上确界范数的空间。

普通函数嵌入与分布求导

若 $f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ ，用 Lebesgue 积分定义

\langle T_f,\varphi\rangle=\int_\Omega f\varphi\,dx.

因为 $|\langle T_f,\varphi\rangle|\le\|f\|_{L^1(K)}\|\varphi\|_\infty$ ，它是分布，称为正则分布。这里“正则”只表示能由局部可积函数表示，并不表示 $f$ 光滑。嵌入按几乎处处相等取商： $T_f=T_g$ 当且仅当 $f=g$ 几乎处处。反向结论的机制是光滑逼近：令 $h=f-g$ ，选非负、光滑、紧支撑且积分为 $1$ 的 $\rho$ ，记 $\rho_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-n}\rho(x/\varepsilon)$ 。对任何紧集 $K\subset\Omega$ ， $\varepsilon$ 足够小时， $y\mapsto\rho_\varepsilon(x-y)$ 对每个 $x\in K$ 都是合法测试函数，因此 $h*\rho_\varepsilon=0$ 于 $K$ 。先将 $h$ 乘一个在 $K$ 邻域等于 $1$ 的光滑紧支撑截断，得到整空间 $L^1$ 函数。近似恒等核的 $L^1$ 逼近定理使它的光滑化在 $L^1(K)$ 中趋于 $h$ ；足够小的卷积窗口在 $K$ 上看不见截断。于是 $h=0$ 几乎处处于 $K$ ，再用紧集穷尽 $\Omega$ 即得结论。

对任意分布，定义所有阶的分布导数

\langle D^\alpha T,\varphi\rangle =(-1)^{|\alpha|}\langle T,D^\alpha\varphi\rangle.

测试函数求导后仍有相同的紧支集，原连续性估计只需把阶数增加 $|\alpha|$ ，便验证 $D^\alpha T$ 仍是分布。每个分布都可无限次求导，但这不使它成为光滑函数。准确的弱导数桥梁是： $f$ 有函数型弱导数 $v$ ，当且仅当 $D_iT_f=T_v$ ；分布求导始终可做，结果是否正则则是额外条件。

直觉

普通函数给每个位置一个数；分布给每个光滑探针一个数。 $T_f$ 的读数是加权积分，点质量的读数则只取一个位置：对 $a\in\Omega$ ，

\langle\delta_a,\varphi\rangle=\varphi(a).

这满足零阶连续性估计。 $\delta_a$ 不是“某点无限高、其余为零”的普通函数，而是确切的取值操作。求导的负号则来自分部积分：探针的变化方向与被测对象的变化方向互换时，负号保留原来的积分规律。特别地，在一维中 $\langle\delta'_a,\varphi\rangle=-\varphi'(a)$ 。

紧支集的要求把讨论留在区域内部，也消除了分部积分的外部边界项；控制所有阶导数则保证探针不会在收敛中偷偷产生越来越快的局部振荡。两项约束共同决定了什么叫读数稳定。

例子与边界

跳跃留下的点质量

在 $(-1,1)$ 上令 $H=\mathbf1_{(0,1)}$ ， $g(x)=x+2H(x)$ 。对任意 $\varphi\in\mathcal D((-1,1))$ ，

\begin{aligned} \langle D T_g,\varphi\rangle &=-\int_{-1}^1 x\varphi'(x)\,dx-2\int_0^1\varphi'(x)\,dx\\ &=\int_{-1}^1\varphi(x)\,dx+2\varphi(0). \end{aligned}

所以 $D T_g=T_1+2\delta_0$ ，再次求导得到 $D^2T_g=2\delta'_0$ 。分段斜率都是 $1$ ，它只解释了第一项；高度为 $2$ 的跳跃提供第二项。一般地，若函数在 $a$ 两侧分别 $C^1$ ，具有有限单侧极限，且分段导数局部可积，则两段分部积分给出

DT_g=T_{g'_{\mathrm{piece}}}+[g]_a\delta_a, \qquad [g]_a=g(a+)-g(a-).

接口处边界项正是右极限减左极限。函数在 $a$ 点的任意赋值不会改变这个结果。

为什么 Dirac 质量不能由可积函数表示

选 $\eta\in C_c^\infty((-1,1))$ ，满足 $0\le\eta\le1$ 、 $\eta(0)=1$ ，并置 $\eta_\varepsilon(x)=\eta(x/\varepsilon)$ 。假设 $\delta_0=T_f$ 且 $f\in L^1_{\mathrm{loc}}$ ，则

1=\langle\delta_0,\eta_\varepsilon\rangle =\int f\eta_\varepsilon, \qquad \left|\int f\eta_\varepsilon\right| \le\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}|f|\longrightarrow0.

最后一步是 Lebesgue 积分的绝对连续性，产生矛盾。这些缩小的光滑探针没有在 $\mathcal D$ 中趋于零：其中心值始终为 $1$ ，导数还会随缩放增大。证明使用的是可积函数在小集合上的积分趋零，而不是分布连续性。因此上面的 $g$ 没有函数型一阶弱导数；在该有界区间上，它不属于任何 $W^{1,p}$ ， $1\le p\le\infty$ 。

可以乘光滑函数，但不能任意相乘

若 $b\in C^\infty(\Omega)$ ，定义 $\langle bT,\varphi\rangle=\langle T,b\varphi\rangle$ 。乘积 $b\varphi$ 仍是测试函数，Leibniz 公式在固定紧集上给出所需估计，所以这是合法的分布运算，并且 $b\delta_a=b(a)\delta_a$ 。同一机制不定义 $H\delta_0$ 或 $\delta_0^2$ ：前者的乘子不光滑，后者甚至不是普通函数乘子。若问题需要这样的乘积，必须另给结构与定义，不能沿用此式直接计算。

推论与应用

从点源解出零边界问题

偏微分方程中的集中源项可以直接放进分布等式。先在一维完整算出一个例子：固定 $0<a<1$ ，令

G_a(x)=\min(x,a)-ax =\begin{cases}(1-a)x,&0\le x\le a,\\a(1-x),&a\le x\le1.\end{cases}

它连续，满足 $G_a(0)=G_a(1)=0$ ，一阶弱导数在两侧分别为 $1-a$ 和 $-a$ 。函数本身没有跳跃，因此一阶导数没有 Dirac 项；斜率的跳跃为 $-a-(1-a)=-1$ ，故

-D^2T_{G_a}=\delta_a\quad\text{于 }(0,1).

零边界帐篷 G 在中点高为四分之一，左右斜率为二分之一与负二分之一；斜率跳跃负一产生单位点源。 — 点源的强度由斜率跳跃决定：−D²G=δ₁/₂。

图取 $a=1/2$ ： $G_{1/2}(x)=x/2$ 或 $(1-x)/2$ ，顶点高为 $1/4$ 。图中的折线是函数 $G$ ，下方两段是其普通弱导数；点源由等式表达，不把 $\delta$ 画成普通函数曲线。

$G_a$ 和它的弱导数均属于 $L^2$ 。利用 Sobolev 空间中区间上的零端点迹刻画， $G_a\in H_0^1(0,1)$ ，而

\|G'_a\|_2^2 =a(1-a)^2+(1-a)a^2=a(1-a).

特别地，中点点源的能量为 $1/4$ 。另一方面， $G_a\notin H^2(0,1)$ ，因为二阶分布导数 $-\delta_a$ 不是局部可积函数。有限的一阶能量与奇异的二阶导数因而可以同时存在。

对任意 $v\in H_0^1(0,1)$ ，采用其绝对连续代表直接积分，得到

\int_0^1G'_a v'\,dx =(1-a)(v(a)-v(0))-a(v(1)-v(a))=v(a).

右端确为连续线性泛函：上述恒等式和Cauchy–Schwarz 不等式给出 $|v(a)|\le\sqrt{a(1-a)}\,\|v'\|_2$ ，以 $v=G_a$ 取等号，故点源的能量对偶范数恰为 $\sqrt{a(1-a)}$ 。Sobolev 空间中的最优点值估计给出一般区间长度下的公式、全部等号条件，并解释为什么这个结论不能直接推广到二维。

这就把点源方程变为能量空间中的弱问题；若另一个 $u\in H_0^1$ 满足同一恒等式，以 $v=u-G_a$ 检验差方程便得 $\|(u-G_a)'\|_2^2=0$ ，零端点再迫使 $u=G_a$ 。因此 $G_a$ 是这个具体零边界问题的唯一弱解，也是区间 Dirichlet 问题的点源 Green 核。高维整空间的Laplace 基本解先用球面通量固定点源系数，再以调和边界校正适配区域；平面镜像法是这项校正能够直接算出的例子。

这里所有分布测试函数都紧支撑于 $(0,1)$ ，所以不会产生端点 Dirac 项；若改到整个实轴研究零延拓，就已改变了问题的区域。

参考资料

John K. Hunter, Notes on Partial Differential Equations，2014 年章节文件，§3.3，定义 3.8–3.9、例 3.10–3.12、定义 3.13，pp. 51–53：测试函数、正则分布与弱导数的联系。
Sergiu Klainerman, Lecture Notes 2010，Chapter 1 §2，定义 2.2、命题 2.3；§2.5(1),(3)，pp. 22–25：紧集上的连续性估计及光滑函数乘法。
NIST Digital Library of Mathematical Functions，§1.16(iii)–(iv)，公式 1.16.12、1.16.15–1.16.18：Dirac 分布、分布导数与跳跃。本文的一阶跳跃公式和点源能量解均在正文直接推导。

形式陈述 ​

普通函数嵌入与分布求导 ​

跳跃留下的点质量 ​

为什么 Dirac 质量不能由可积函数表示 ​

可以乘光滑函数，但不能任意相乘 ​

从点源解出零边界问题 ​

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