球面映射度

度不是“每点有几个原像”的无符号计数。它记录一个有向顶维循环被映射后，累计成为多少份目标的有向循环。正向经过与反向经过可能抵消，这使连续变形即使创造或消去成对原像，也不改变总数。

在圆周上，最容易看到这个整数的方法是把角度展开到实线上。走完源圆一圈，目标角度的净增加量除以 $2\pi$ 就是度。来回摆动部分互相抵消，留下的是净绕行。

三条规则的证明 ​

同伦不变性理路同调的同伦不变性Homotopy invariance of homology同伦映射诱导相同的奇异同调同态，因而同伦等价空间具有同构的同调群。给同伦映射相同的诱导同态。恒等及复合则由同调的函子性得到：$(g\circ f{)}_{\ast }(u)=g_{\ast }(\mathrm{deg}fu)=\mathrm{deg}f\mathrm{deg}gu$。

若 $f$ 漏掉一点 $y$，它经过可缩空间 $S^n\setminus \{y\}\cong {\mathbb{R}}^n$ 分解；该空间的正次数同调为零，故 $f_{\ast }=0$。若有同伦逆 $g$，复合律给 $\mathrm{deg}f\mathrm{deg}g=1$，两个整数只能同时为 $1$ 或同时为 $-1$。

反射 $r(x_0,x_1,\dots ,x_n)=(-x_0,x_1,\dots ,x_n)$ 交换两半球。将球面的基本循环写为具有相同边界定向的两半球链之差，反射把这个差变为其负值，所以 $\mathrm{deg}r=-1$。对径映射 $a(x)=-x$ 是 $n+1$ 次坐标反射的复合，因此

这里的指数是环境维数 $n+1$，不能因球面维数为 $n$ 就少乘一次负号。

圆周幂映射：从角度而非记忆求度 ​

记 $p(t)=e^{2\pi it}$。对连续 $f:S^1\to S^1$，覆叠提升理路覆叠提升性质Lifting property for covering spaces路径与同伦在指定起点后可唯一提升到覆叠空间。把 $f\circ p:\mathbb{R}\to S^1$ 提升为连续 $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$。因为 $p(F(t+1))=p(F(t))$，差 $F(t+1)-F(t)$ 是连续的整数值函数，故为同一个整数 $m$。另一提升只差整数常数，因此 $m$ 不依赖提升选择。

写 $F(t)=mt+v(t)$，则 $v$ 为 $1$ 周期函数。公式

关于 $t\mapsto t+1$ 不变，因而在圆周上给出从 $f$ 到 $z\mapsto z^m$ 的同伦。标准有向圆周循环经 $z^m$ 后，由 $|m|$ 段组成，每段正向（$m>0$）或反向（$m<0$）走完整圆；链的细分不改同调类，所以其像为 $mu$。这证明角度净增加量确实等于同调定义的度。

于是对每个整数 $m$，包括 $0$ 和负数，

例如 $f(z)=z^{-3}$、$g(z)=z^2$ 给 $g\circ f=z^{-6}$，度为 $2(-3)=-6$。若 $F,G$ 分别为两个圆周映射的提升，$G(F(t+1))-G(F(t))=m\mathrm{deg}g$，也可独立核验复合律。

满射也可能度为零 ​

令 $F(t)=2t$（$0\le t\le 1/2$），$F(t)=2-2t$（$1/2\le t\le 1$），再按周期延拓。由 $f(p(t))=p(F(t))$ 定义的圆周映射先正绕一周、再反绕一周，满射却有 $F(1)-F(0)=0$，故度为零。无符号数原像会错误地给出二。

零维及分类范围 ​

$S^0$ 的普通 $H_0$ 是 ${\mathbb{Z}}^2$，不是无限循环群，所以本页的定义限制 $n\ge 1$。若另用约化 $H_0(S^0)\cong \mathbb{Z}$，四个自映射的度分别为 $1,-1,0,0$；零维并不能实现任意整数度。

对 $n\ge 1$，球面自映射的同伦类由度完全分类是更深的 Hopf 定理。本页只在圆周情形用提升证明了这个逆向结论；高维情形不能仅从“同伦保持度”倒推。

胞腔同调理路胞腔同调Cellular homology由 CW 骨架过滤构造以胞腔为基的链复形，并计算与奇异同调自然同构的群。计算边界时，把附着球面映到低一维骨架，再把目标胞腔以外部分压成一点，得到球面自映射；本页给出其中度的准确含义。原流形基本类理路流形基本类Fundamental class · 流形基本类将一致定向的顶维单形相加得到基本循环，并由共享面的系数传播证明它生成闭连通定向流形的顶维同调。页保留一般闭定向流形的度定义和复合律，本页专门提供球面低前置证明与圆周计算入口。实际求整数还可用局部度的求和公式理路局部度与带符号原像计数Local degree · Local degree formula · 局部映射度用局部同调定义孤立原像的度，证明全局度等于局部度之和，并区别正则点符号与退化原像。，而不必为每个附着图重新展开所有奇异链。

若偶维球面 $S^{2k}$ 上存在处处非零的连续切向量场 $v$，归一化后

始终为单位向量，因为 $v(x)\perp x$。它把恒等同伦到对径映射，却要求 $1=(-1{)}^{2k+1}=-1$，矛盾。这项应用依靠的是度与同伦，而非球面在图上看起来“不能梳平”。