胞腔同调 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $X$ 是CW 复形， $X^n$ 为其 $n$ -骨架，约定 $X^{-1}=\varnothing$ 。定义胞腔链群

C_n^{\mathrm{cell}}(X) =H_n(X^n,X^{n-1};\mathbb Z).

由切除定理与圆盘对边界的相对同调，

C_n^{\mathrm{cell}}(X) \cong \bigoplus_{n\text{-胞腔 }e_\alpha^n}\mathbb Z,

所以每个 $n$ -胞腔给一个基生成元；无限 CW 复形中这里是直和，不是允许无限系数族的直积。

普通同调取 $d_0=0$ ；对 $n\ge1$ ，胞腔边界

d_n:C_n^{\mathrm{cell}}(X)\to C_{n-1}^{\mathrm{cell}}(X)

是以下两步的复合：先取空间对长正合列中的连接同态

H_n(X^n,X^{n-1}) \longrightarrow H_{n-1}(X^{n-1}),

再映到

H_{n-1}(X^{n-1},X^{n-2}).

正合性与自然性给出 $d_{n-1}d_n=0$ 。胞腔同调定理断言

H_n(C_*^{\mathrm{cell}}(X)) \cong H_n^{\mathrm{sing}}(X;\mathbb Z)

并且该同构对胞腔映射自然。证明骨架使用骨架过滤和长正合列：相对群 $H_k(X^n,X^{n-1})$ 除 $k=n$ 外为零，逐层正合列因而把奇异同调压缩到上述胞腔链复形。

对任意域 $\mathbb F$ ，同一骨架构造也给出 $C_n^{\mathrm{cell}}(X;\mathbb F)=H_n(X^n,X^{n-1};\mathbb F)$ ，每个 $n$ -胞腔对应一个 $\mathbb F$ 基向量。其边界矩阵由整数边界矩阵经 $\mathbb Z\to\mathbb F$ 逐项换系数得到，同一骨架正合列证明给出 $H_n(C_*^{\mathrm{cell}}(X;\mathbb F))\cong H_n(X;\mathbb F)$ 。特别在有限 CW 情形，各链空间维数就是该维胞腔数，但改变域可能改变边界矩阵的秩。

边界矩阵还能由附着映射计算。对 $n\ge2$ ， $n$ -胞腔 $e_\alpha^n$ 对 $(n-1)$ -胞腔 $e_\beta^{n-1}$ 的系数，是把附着映射 $S^{n-1}\to X^{n-1}$ 再压缩目标胞腔以外部分后，所得映射 $S^{n-1}\to S^{n-1}$ 的 degree。对一胞腔，边界直接是终点减起点；两端附着到同一点时边界为零。

直觉

奇异链使用所有连续单形，生成元极多。CW 骨架已经说明空间在哪些维数加入了哪些新块；胞腔同调只为每个胞腔保留一个生成元，并把复杂性集中到附着映射的整数 degree。骨架过滤保证这个较小的链模型计算出同一组奇异同调群。

胞腔的几何边缘本身不能直接相加成代数边界。一个附着球面可以多次绕过低维胞腔，方向还会抵消；连接同态和 degree 正是记录这些绕行次数的机制。

例子与边界

对 $n\ge1$ ， $S^n$ 可取一个 $0$ -胞腔和一个 $n$ -胞腔。除 $C_0\cong\mathbb Z$ 、 $C_n\cong\mathbb Z$ 外链群为零，所有边界为零，因此

H_0(S^n)\cong\mathbb Z,\qquad H_n(S^n)\cong\mathbb Z.

对 $\mathbb{RP}^2$ 的标准 CW 结构，每维 $0,1,2$ 各有一个胞腔，且

C_2\xrightarrow{\;2\;}C_1\xrightarrow{\;0\;}C_0.

二胞腔附着映射在一维胞腔上绕两次，所以 $d_2$ 是乘 $2$ 。由此

H_0\cong\mathbb Z,\qquad H_1\cong\mathbb Z/2\mathbb Z,\qquad H_2=0.

这个例子也说明只数胞腔不足以得到同调；相同链群配不同边界映射会给不同结果。

边界系数依赖胞腔定向，换定向会使相应行或列变号，同调群通过换基保持不变。胞腔链与奇异链采用不同的生成元，比较定理将它们计算出的同调自然地对应起来。若一个空间与某个 CW 复形同伦等价，也可借助同伦不变性，用该 CW 模型计算原空间的同调。

从边界词逐项得到矩阵

对于一个顶点、 $r$ 条有向一胞腔 $a_1,\ldots,a_r$ 、 $s$ 枚二胞腔的二维 CW 复形，先固定这些基的顺序。第 $j$ 枚二胞腔的附着词为 $w_j$ 。为求其对 $a_i$ 的边界系数，把其他一胞腔压成一点，并在 $a_i$ 内部选一个目标点。附着圆周每次正向经过 $a_i$ 贡献局部度 $+1$ ，逆向经过贡献 $-1$ ，故

(d_2)_{ij}=\text{$w_j$ 中 $a_i$ 的总指数}.

这由球面映射度及局部度求和解释；不是把非交换词未经说明地当作交换和。因为所有边都首尾同点， $d_1=0$ ，所以

H_2=\ker d_2,\qquad H_1=\mathbb Z^r/\operatorname{im}d_2, \qquad H_0=\mathbb Z.

环面的边界按逆时针读取为 $aba^{-1}b^{-1}$ 。对 $a$ 的指数和 $1-1=0$ ，对 $b$ 也是零，所以 $d_2=(0,0)^T$ ，得到 $H_2(T^2;\mathbb Z)=\mathbb Z$ 、 $H_1(T^2;\mathbb Z)=\mathbb Z^2$ 。这与前面射影平面的 $d_2=(2)$ 形成对照：胞腔数之外必须保留方向与重数。

Klein 瓶取边界词 $aba^{-1}b$ ，于是 $d_2=(0,2)^T$ 。核为零，余核为 $\mathbb Z\oplus\mathbb Z/2$ ，所以 $H_2=0$ 、 $H_1=\mathbb Z\oplus\mathbb Z/2$ 。环面与 Klein 瓶的胞腔数同为 $(1,2,1)$ ，Euler 数也都为零，但整数同调不同。

对一般多维边界矩阵，应先在 $\ker d_n$ 的整数基中表示 $d_{n+1}$ 的像，再求关系矩阵的 Smith 正规形。两张矩阵共用中间链群，换基须相容。附着胞腔的正合列还给出新生循环的链代表；同调泛系数定理则解释模二时射影平面新增的二维类来自 $\operatorname{Tor}_1(H_1,\mathbb F_2)$ 。

推论与应用

胞腔同调把相对同调、骨架过滤与整数矩阵计算连起来。与单纯同调相比，它往往使用更少生成元；与奇异同调相比，它牺牲了直接适用于任意空间的便利，换来实际可算性。

胞腔边界矩阵可继续用于 Euler 示性数、映射诱导同态和基本同调计算。

在有限定向组合闭流形上，对偶胞腔构造把原 $p$ 维单形换成 $n-p$ 维胞腔。重心旗链的关联数给出一致定向，并使原余边界与新边界逐项相同；本页的胞腔比较再把得到的群识别为同一流形的同调。这说明维数互补的同构来自边界关系，而不只是胞腔数量的配对。

参考资料

Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002, §2.2, cellular homology.
J. Peter May, A Concise Course in Algebraic Topology, University of Chicago Press, 1999, Ch. 14, cellular chains and homology.

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