上同调 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $G$ 为阿贝尔群。对整数奇异链复形，奇异上链群定义为

C^n(X;G)=\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(C_n(X;\mathbb Z),G).

余边界算子 $\delta:C^n\to C^{n+1}$ 由

(\delta\varphi)(c)=\varphi(\partial c)

定义，因 $\partial^2=0$ 而满足 $\delta^2=0$ 。因此 $(C^\bullet,\delta)$ 是方向与链复形对偶的上链复形。第 $n$ 个上同调群为

H^n(X;G)=\ker\delta^n/\operatorname{im}\delta^{n-1}.

普通上同调取 $C^n=0$ （ $n<0$ ）。把指标改写为 $D_m=C^{-m}$ ，余边界就成为降一次数的边界；上述 $H^n$ 正是一般链复形同调 $H_{-n}(D)$ 。这里是同一核模像构造的反向编号，不是把原空间的 $H_n(X;G)$ 直接改名。

连续映射 $f:X\to Y$ 通过预合成诱导反向同态

f^*:H^n(Y;G)\to H^n(X;G),

所以上同调是反变函子。若系数为交换含幺环 $R$ ，这里选用奇异链条目中同一 $R$ 的自由链模 $C_n(X;R)$ 。在每个奇异单形基上指定一个 $R$ 值，同时唯一决定整数链上的加法同态与 $R$ -链上的 $R$ -线性同态，给出典范识别

\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(C_n(X;\mathbb Z),R) \cong\operatorname{Hom}_R(C_n(X;R),R).

这两种写法的余边界也相同，都是预合成奇异边界。此处 $R$ 的乘法正是系数环原有的乘法；随后定义杯积时，将前后两面的 $R$ 值相乘，所得上同调成为分次环。

相对上链

对任意子空间 $A\subseteq X$ ，先取相对链构造中的商 $C_n(X,A;\mathbb Z)=C_n(X;\mathbb Z)/C_n(A;\mathbb Z)$ ，再定义

C^n(X,A;G)=\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(C_n(X,A;\mathbb Z),G).

等价地，它是 $C^n(X;G)$ 中在 $A$ 的全部链上取零的子群，仍由 $\delta\varphi=\varphi\partial$ 给出余边界，其上同调记为 $H^n(X,A;G)$ 。限制到 $A$ 的上链映射逐次满射：奇异单形是共同基，可在其他基元素上补零。因此有短正合上链列 $0\to C^*(X,A;G)\to C^*(X;G)\to C^*(A;G)\to0$ ，它给出连接箭头升一次数的对的长正合列。这个代数定义不要求空间对满足切除或良好嵌入条件。

直觉

上链给链分配可加的测量值。 $\delta\varphi=0$ 检查的是它在所有高一维链的边界上取零，而是否来自低一维数据须另解 $\varphi=\delta\psi$ 。后者对每条循环 $c$ 给出 $\varphi(c)=\psi(\partial c)=0$ ，故视为平凡测量。

零维上链给每个点赋值，对从 $a$ 到 $b$ 的路径有 $(\delta\varphi)(\sigma)=\varphi(b)-\varphi(a)$ ；所以零维余循环在每个道路分支上恒定。这直接解释 $H^0$ 的道路分支描述。

反变性来自预复合：空间映射把链向前送，测量只能沿相反方向拉回。

例子与边界

对道路连通非空空间， $H^0(X;G)\cong G$ ；一般 $H^0$ 对每个道路分支给一个独立值。圆周满足 $H^0(S^1;\mathbb Z)\cong H^1(S^1;\mathbb Z)\cong\mathbb Z$ 。对任意域 $\mathbb F$ ，有典范同构 $H^n(X;\mathbb F)\cong\operatorname{Hom}_{\mathbb F}(H_n(X;\mathbb F),\mathbb F)$ ，这里无需有限型假设；有限维才与双对偶恢复等额外结论有关。一般 Abel 群系数则由普遍系数定理给出自然短正合列

0\to\operatorname{Ext}_{\mathbb Z}^1(H_{n-1}(X;\mathbb Z),G) \to H^n(X;G) \to\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(H_n(X;\mathbb Z),G)\to0.

它可以分裂，但分裂通常不自然。这里的Ext 项不可忽略： $\mathbb{RP}^2$ 有 $H_1=\mathbb Z/2$ 、 $H_2=0$ ，而 $\operatorname{Ext}_{\mathbb Z}^1(\mathbb Z/2,\mathbb Z)=\mathbb Z/2$ ，所以 $H^1(\mathbb{RP}^2;\mathbb Z)=0$ 、 $H^2(\mathbb{RP}^2;\mathbb Z)=\mathbb Z/2$ 。只取 $\operatorname{Hom}(H_n,\mathbb Z)$ 会漏掉后一个群。系数群改变会改变上同调，且上链是全部群同态，不只来自可微形式。

对整数 $m$ ，映射 $f:S^1\to S^1$ 、 $f(z)=z^m$ 在上同调上诱导

f^*:H^1(S^1;\mathbb Z)\to H^1(S^1;\mathbb Z), \qquad f^*(u)=m u.

也就是说，目标圆上的“绕行测量”拉回后会在定义域记录 $m$ 倍绕行。常值映射在正次数上同调上诱导零映射；映射方向与诱导同态方向相反，不能和同调的协变性混淆。

推论与应用

奇异链复形取 Hom 后方向反转，形成上同调的代数来源；杯积把各维群组织成分次环，比单纯群更精细。同伦等价保持上同调，微分形式的 de Rham 上同调则把光滑积分与拓扑不变量连接起来。de Rham 定理通过光滑奇异链上的积分，将它与光滑流形的实系数奇异上同调比较；这里的模型等价明确限于有限维、Hausdorff、第二可数、无边界的光滑流形与实数系数，所得是自然分次实向量空间同构；不能推广成任意拓扑空间或任意系数下的同一理论。整数挠信息在转为实系数时消失。特征类、障碍理论和对偶性利用的正是可乘、反变的结构。

层上同调把系数推广到随位置变化的局部数据。圆周的变号整数层有 $H^1=\mathbb Z/2$ ，与本页常值整数系数的 $H^1=\mathbb Z$ 不同；Čech上同调用开覆盖的接缝差给出具体计算，但与导出函子群比较时必须检查交集上的无上同调条件。

若 $X=|K|$ 为单纯复形的几何实现，也可对其有序单纯链复形取 $\operatorname{Hom}(-,G)$ 。将有序几何单形视作奇异单形得到比较链映射；它诱导同调同构，又因两边链群均为自由 Abel 群，由普遍系数定理的自然性得到上同调比较同构。当系数为交换环时，限制上链还逐项保持前面／后面的杯积公式。因此有限单纯模型既能计算群，也能计算其乘法，而不是只比较各度的秩。[1, Corollary 3.4 及 §3.2]

参考资料

[1] Allen Hatcher, Algebraic Topology, Chapter 3, Cambridge University Press, 2002，§3.1，Theorem 3.2、Corollary 3.4：普遍系数与链模型比较；§3.2：杯积。
Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer, 1993，Ch. VI, cochains and cohomology。

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