同调泛系数定理 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $C_\bullet$ 是非负的自由整数链复形， $A$ 为任意 Abel 群。对它的逐次张量积取链复形同调，记

H_n(C;A)=H_n(C_\bullet\otimes_{\mathbb Z}A),\qquad H_{-1}(C)=0.

同调泛系数定理给出自然短正合列

0\longrightarrow H_n(C)\otimes A\xrightarrow{\iota} H_n(C;A)\xrightarrow{\rho} \operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(H_{n-1}(C),A)\longrightarrow0.

左箭头在简单张量上为 $[z]\otimes a\mapsto[z\otimes a]$ 。短正合列可以分裂，但通常不能选出对所有链映射都自然的分裂。因此中间群与两端群的直和非典范同构，不能把一份任选的直和坐标当成自然结构。

这里的整数一次 Tor可由长度一自由分解直接算：若 $0\to B\xrightarrow{i}Z\to H\to0$ 中 $B,Z$ 自由，则

\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(H,A)=\ker(i\otimes1:B\otimes A\to Z\otimes A).

例如 $\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(\mathbb Z/m,A)=A[m]=\{a:ma=0\}$ 。主陈述用于奇异链或胞腔链时，就得到空间的换系数公式；它不需要各链群有限生成。

直觉

先取整数同调再张量，只能看到原来已经闭合的整数循环。换系数还可能使原本非零的边界变成零，令一个原来不闭合的高维链突然成为循环。这一部分由前一次数整数同调中的挠和系数群相遇产生，故右端使用 $H_{n-1}$ ，不是 $H_n$ 。

实射影平面的二胞腔 $e$ 满足 $\partial e=2a$ 。模二后它成为循环，但整数 $H_2$ 原本为零，所以无法靠 $H_2\otimes\mathbb F_2$ 找到它。Tor 项记下的正是这次边界失效。

从循环和边界导出短正合列

令 $Z_n=\ker\partial_n$ 、 $B_n=\operatorname{im}\partial_{n+1}$ 。整数自由群的子群仍自由，所以 $Z_n,B_n$ 自由。序列

0\to Z_n\to C_n\xrightarrow{\partial_n}B_{n-1}\to0

因右端自由而分裂。选择截面，将 $C_n$ 写成 $Z_n\oplus B_{n-1}$ ；在这些坐标中，边界为

\partial_n(z,b)=(i_{n-1}b,0),

其中 $i_{n-1}:B_{n-1}\hookrightarrow Z_{n-1}$ 。分裂后取张量仍正合，且微分变成 $(z,b)\mapsto((i_{n-1}\otimes1)b,0)$ 。

所以换系数后的 $n$ 次循环由任意 $z\in Z_n\otimes A$ 与满足 $(i_{n-1}\otimes1)b=0$ 的 $b\in B_{n-1}\otimes A$ 组成；边界只出现在第一坐标，恰为 $\operatorname{im}(i_n\otimes1)$ 。因此

H_n(C;A)\cong \operatorname{coker}(i_n\otimes1)\oplus\ker(i_{n-1}\otimes1).

张量的右正合性把第一项识别为 $H_n(C)\otimes A$ ；自由分解 $0\to B_{n-1}\to Z_{n-1}\to H_{n-1}(C)\to0$ 把第二项识别为所述 Tor。这也证明存在分裂，而不是仅有一条未经计算的正合列。

哪些映射是自然的

虽然上述坐标用了截面，短正合列的箭头没有。 $\iota$ 已由循环代表定义； $\rho$ 由 $C_n\twoheadrightarrow B_{n-1}$ 在张量后的映射诱导，把一个新循环送到 $\ker(i_{n-1}\otimes1)$ 。边界在此投影下为零，所以 $\rho$ 在同调上良好定义。

链映射把 $Z_n$ 送入 $Z_n'$ 、 $B_n$ 送入 $B_n'$ ，并与包含和边界交换，因而与这两个箭头交换。系数同态 $A\to A'$ 同样逐张量相容。这就是短正合列的自然性；选定截面并无这种保证。

例子与边界

任意系数下的实射影平面

标准胞腔链是 $\mathbb Z\xrightarrow{2}\mathbb Z\xrightarrow0\mathbb Z$ ，故整数群为 $H_0=\mathbb Z,H_1=\mathbb Z/2,H_2=0$ 。于是

H_0(\mathbb{RP}^2;A)=A,\qquad H_1(\mathbb{RP}^2;A)=A/2A,\qquad H_2(\mathbb{RP}^2;A)=A[2].

最后一项就是 $\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(H_1,A)$ 。取 $A=\mathbb F_2$ ，三项全为 $\mathbb F_2$ ；取 $A=\mathbb Q$ ，只剩 $H_0=\mathbb Q$ ；取 $A=\mathbb Z/4$ ， $H_2$ 由二胞腔系数 $2$ 生成，因为 $2\cdot2=0\pmod4$ ，而系数 $1$ 还不是循环。

不能自然选择的新循环

取 $C_2=\mathbb Zx\oplus\mathbb Zy$ 、 $C_1=\mathbb Zb$ 、 $C_0=\mathbb Z$ ，唯一非零微分为 $\partial y=2b$ 。整数同调 $H_2=\mathbb Z[x]$ 、 $H_1=\mathbb Z/2[b]$ 。模二 UCT 是

0\to\mathbb F_2[x]\to\mathbb F_2[x,y]\to\mathbb F_2\to0.

链自同构 $T(x)=x,T(y)=y+x,T(b)=b$ 在两端的整数同调及相应 Tor 上均为恒等，但在中间将 $[y]$ 变为 $[y+x]$ 。右端生成元的任何提升只能是 $[y]+c[x]$ ， $c\in\mathbb F_2$ ，经 $T$ 后都改变。因此不存在同时与所有链映射交换的分裂。这里反驳的是自然选择，不是否认每条序列分别可以分裂。

自由假设不能删除

若把 $C_0=\mathbb Z/2$ 、其余链群为零，再取 $A=\mathbb F_2$ ，则实际 $H_1(C\otimes A)=0$ ，但 $\operatorname{Tor}_1(H_0(C),A)=\mathbb F_2$ 。主公式会错误地要求向非零群满射。问题在于原复形不是自由链复形；不能把任意群列直接当成适用输入。

推论与应用

若 $H_{n-1}(C)$ 无挠，作为整数模它平坦，右端 Tor 为零，左箭头就成为自然同构。对有限生成同调，最常用的充分条件是 $H_{n-1}$ 自由。若系数群平坦，例如 $\mathbb Q$ ，所有右端项同样消失。

实际换系数可走两条独立道路：先把整数边界矩阵逐项换系数再算核像，或先算整数同调并用本定理。两条路应相符。模二时新出现的顶维类，不能解释为“把整数同调群里所有数字改成模二”。

参考资料

Allen Hatcher，Algebraic Topology，§3.A，pp. 261–265，特别是 Theorem 3A.3：自然 UCT、循环—边界分裂证明与非自然分裂。
原Tor 函子页保留一般底环、分解无关性与双数环计算；本页把其中已有的 UCT 陈述发展为证明、自然性边界和空间换系数任务。

形式陈述 ​

从循环和边界导出短正合列 ​

哪些映射是自然的 ​

任意系数下的实射影平面 ​

不能自然选择的新循环 ​

自由假设不能删除 ​