陪集

陪集是把子群当作一个整体进行平移。$H$ 是经过单位元的那一块，$gH$ 则把其中每个元素都从左侧乘上同一个 $g$。群元素可逆，因此这种平移既不压缩也不拉伸集合；各块大小相同，并且恰好铺满整个群。

等价关系说明了分块的含义：$g$ 与 $g^{\prime }$ 落在同一左陪集，恰好当从 $g$ 走到 $g^{\prime }$ 所需的相对动作 $g^{-1}{g}^{\prime }$ 属于 $H$。若把 $H$ 内的变化视为不可区分，陪集就是可观察到的状态类别。整数模 $n$ 的同余类正是这一图像在加法群中的原型。

不过陪集首先只是集合。要在所有陪集之间定义群乘法，代表元的选择必须不影响答案；这要求左、右平移与同一个分块相容，也就是子群正规。普通陪集空间可以承载群作用或几何结构，却不自动是群。

在加法群 $\mathbb{Z}$ 中，取正整数 $n$，则 $n\mathbb{Z}$ 的陪集是

例如 $n=4$ 时，$1+4\mathbb{Z}=\{\dots ,-3,1,5,9,\dots \}$，选 $5$ 作代表元仍得到同一集合，因为 $5-1=4\in 4\mathbb{Z}$。但 $2+4\mathbb{Z}$ 是另一块，因为 $2-1\notin 4\mathbb{Z}$。对任意整数作带余除法，只可能落入 $0,1,2,3$ 所代表的四块之一。

一般地，这些陪集对应模 $n$ 的 $n$ 个剩余类，所以 $[\mathbb{Z}:n\mathbb{Z}]=n$。整数加法交换，左、右陪集没有区别；$n=0$ 时子群为 $\{0\}$，每个陪集都是单点，指数无限，不能套用“指数为 $n$”的说法。

在三个符号的置换群 $S_3$ 中取 $H=\{e,(12)\}$，其中 $(12)$ 交换 $1,2$，$e$ 固定全部符号。按右侧置换先作用，

例如 $(13)(12)$ 依次把 $1\mapsto 2\mapsto 3\mapsto 1$，所以是 $(123)$；反向相乘则得到 $(132)$。左右陪集不同，显示 $H$ 不正规。尽管两边都是二元素集合，把它们写成“商群 $S_3/H$”仍是错误的，因为陪集乘法会依赖代表元。

陪集一般不构成子群。$gH$ 含单位元当且仅当 $g\in H$，而此时 $gH=H$；所以除 $H$ 本身外，其他陪集连单位元都没有。把陪集理解为从 $G$ 中删除 $H$ 后的残余也会误导：每个陪集都是 $H$ 完整、等大的平移副本。

无限群中分划仍然成立，但有限整除语言不能照搬。例如 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 的陪集有无限多个，每个陪集也可数；这不产生“$|\mathbb{Z}|$ 整除 $|\mathbb{Q}|$”这样的整数论命题。指数可以是无限基数，使用时要区分基数等式与有限整数整除。

若 $G$ 有限，陪集分划立即给出

陪集等大且构成分划，这两项直接推出Lagrange 定理公理库拉格朗日定理Lagrange's theorem有限群的阶等于子群阶与指数之积，因此子群阶必整除群阶。。指数 $2$ 的子群自动正规：只有 $H$ 与其补块两个左陪集，也只有两个右陪集，含任意 $g\notin H$ 的那一块必在两边相同。

当 $H$ 是正规子群公理库正规子群Normal subgroup在全群共轭下保持不变、因而可作为同态核并形成商群的子群。时，所有 $g$ 都满足 $gH=Hg$，陪集乘法 $(gH)(kH)=gkH$ 才良定义，得到商群公理库商群Quotient group将正规子群压成单位元后，在其陪集商集上诱导出的群。 $G/H$。若 $H$ 不正规，左陪集集合仍可由 $G$ 通过左乘作用；这个作用把抽象群送入陪集的置换群，是研究子群指数与群表示的重要入口。

在群作用中，点 $x$ 的轨道与稳定子 $G_x$ 的左陪集空间 $G/G_x$ 自然对应。陪集由此同时承担“给群取模”和“把局部对称性大小转成全局轨道大小”两项任务，并连接到轨道—稳定子定理与组合计数。