内射分解 | Codeboy's Blog

形式陈述

左 $R$ -模 $M$ 的内射分解是一个增广上链复形

0\longrightarrow M\xrightarrow{\eta}I^0 \xrightarrow{d^0}I^1\xrightarrow{d^1}I^2\longrightarrow\cdots

满足每个 $I^n$ 都是内射模，并且整个增广序列为正合列： $\eta$ 单射， $\ker d^0=\operatorname{im}\eta$ ，且

\ker d^{n+1}=\operatorname{im}d^n

对所有 $n\ge0$ 成立。重新编号 $I_{-n}=I^n$ 后，它也可看成向负次数延伸的链复形。

模范畴有足够多内射对象，构造可逐步进行。先选单射 $M\hookrightarrow I^0$ ，令 $C^1=\operatorname{coker}(M\to I^0)$ ；再嵌入 $C^1\hookrightarrow I^1$ ，并把 $d^0$ 定义为商映射 $I^0\twoheadrightarrow C^1$ 与该嵌入的复合。对后续余核重复此过程，即得正合复形。在一般 Abel 范畴中，内射对象 $I$ 要求：对每个单态射 $A\hookrightarrow B$ ，任一 $A\to I$ 都能延拓为 $B\to I$ 。若每个对象都能单态射嵌入某个内射对象，即有足够多内射对象，上述逐次取余核的构造仍然适用；把模换成对象，就得到该范畴中的内射分解。

直觉

投射分解从投射对象向 $M$ 满射，逐层解释核中的关系；内射分解从另一端开始，将 $M$ 嵌入 $I^0$ ，再把商 $I^0/M$ 嵌入 $I^1$ 。下一条映射的核恰好是上一条的像，所以每一步保留了此前嵌入的信息，并把多出的商传到下一层。

内射模适合做陪域，因为定义在子对象上的映射都能向外延拓。这个性质让模同态可以逐次延拓到分解之间。去掉增广项 $M$ 后，上链复形 $I^\bullet$ 的零次上同调为 $M$ ，正次数上同调为零；施加函子后出现的高次上同调，才记录该函子失去的正合性。

例子与边界

作为 $\mathbb Z$ -模， $\mathbb Q$ 与 $\mathbb Q/\mathbb Z$ 都可除，因此内射。规范列

0\longrightarrow\mathbb Z\longrightarrow\mathbb Q \longrightarrow\mathbb Q/\mathbb Z\longrightarrow0

正合，故给出 $\mathbb Z$ 的长度 $1$ 内射分解： $I^0=\mathbb Q$ 、 $I^1=\mathbb Q/\mathbb Z$ 。对 $n>1$ ，取 $A=\mathbb Z/n\mathbb Z$ ，则

\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(A,\mathbb Q)=0,

因为有限群到无挠群的同态只能为零；而

\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(A,\mathbb Q/\mathbb Z) \cong (\mathbb Q/\mathbb Z)[n]\cong\mathbb Z/n\mathbb Z.

这里同态由 $[1]_n$ 的像确定，而该像只能是 $0,1/n,\ldots,(n-1)/n$ 模 $\mathbb Z$ 的类。因此施加 $\operatorname{Hom}(A,-)$ 后得到上链复形 $0\to\mathbb Z/n$ ，一次上同调为 $\mathbb Z/n$ 。它就是 $\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(A,\mathbb Z)$ ，分类形如 $0\to\mathbb Z\to E\to A\to0$ 的扩张等价类，零类对应分裂扩张。

同一个模可以有不同外观的内射分解。例如向上面的分解加入 $\mathbb Q\xrightarrow{1}\mathbb Q$ ，便得到

0\to\mathbb Z\xrightarrow{z\mapsto(z,0)}\mathbb Q\oplus\mathbb Q \xrightarrow{(a,b)\mapsto([a],b)}(\mathbb Q/\mathbb Z)\oplus\mathbb Q\to0.

新增两项仍内射，整个序列也正合；额外的恒等映射复形可缩，所以它不改变分解的链同伦类型。有限长度的分解若存在，其最短长度称为内射维数；也有模需要无限长的分解。

在计算层的全局截面导出群时，还能用无上同调分解替代内射分解。flasque层通过延拓局部截面消去障碍，fine层在合适的仿紧Hausdorff空间上使用单位分解；该页给出维数移动证明，并明确每个分解项需要满足的条件。

推论与应用

给定 $f:M\to N$ 及内射分解 $M\to I^\bullet$ 、 $N\to J^\bullet$ ，内射延拓性质逐次构造与 $f$ 相容的上链链映射 $I^\bullet\to J^\bullet$ 。任意两个提升链同伦，换用另一内射分解也得到链同伦等价的复形。

因此对左正合协变加性函子 $F$ ，上同调

R^nF(M)=H^n(F(I^\bullet))

与分解选择无关，定义右导出函子。对 $F=\operatorname{Hom}_R(A,-)$ 得到 $\operatorname{Ext}_R^n(A,M)$ 。若 $M$ 本身内射，可取 $0\to M\xrightarrow{1}M\to0$ ，所有正次数右导出量消失。

若还要求每步嵌入没有多余部分，可以使用内射包络，即内射对象中的本质扩张。有限维代数上对左右模作向量空间对偶，将投射盖转成这样的包络；内射分解的存在与这项最小性是两个层次。

参考资料

Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994，§§2.3–2.4。
Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 2009，Ch. 6, §§6.4–6.5。
Peter J. Hilton and Urs Stammbach, A Course in Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 1997，Ch. IV, §§5–6。

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