整闭包

整闭包在选定扩环中收集满足基环系数首一方程的元素。取环境为分式域时，就是检查哪些分式虽然暂不在 $A$ 中，却能用首一方程控制其高次幂。整闭整环的特征是：所有这样的分式都已经属于 $A$。

对不可约仿射曲线，在函数域中取坐标环的整闭包称为正规化。新旧坐标环具有同一个分式域，所以保持相同的有理函数；扩大的坐标环则可补入尖点缺失的参数，或将某些自交处的分支分开。下面的 $k[t^2,t^3]$ 展示了补入参数的过程。

$\mathbb{Z}$ 在 $\mathbb{Q}$ 中整闭。若 $a/b\in \mathbb{Q}$ 以互素整数表示并满足首一整数方程，乘以 $b^n$ 后可推出 $b\mid a^n$，故 $b=\pm 1$。同样的证明适用于唯一分解整环公理库唯一分解整环Unique factorization domain · UFD每个非零非单位元素都能唯一地分解为不可约元乘积的整环。：把分子分母约去公因子后，首一方程迫使分母整除分子的幂，于是分母只能是单位。

令

因为 $t=t^3/t^2$，$A$ 的分式域为 $k(t)$。元素 $t$ 满足 $T^2-t^2=0$，所以在 $A$ 上整，但 $A$ 中多项式的一次项系数都为零，故 $t\notin A$。添入它得到 $A[t]=k[t]$。

$k[t]$ 正是 $A$ 在 $k(t)$ 中的整闭包：它在 $A$ 上整，又因是唯一分解整环而在 $k(t)$ 中整闭。任何在 $A$ 上整的分式，同一个首一方程也表明它在 $k[t]$ 上整，因此已属于 $k[t]$。几何上，这对应尖点 $y^2=x^3$ 的参数化 $x=t^2,y=t^3$。这与Noether 正规化公理库Noether 正规化引理Noether normalization lemma在有限生成域代数中选出多项式子环，使原代数成为其上的有限整扩张。的任务不同：后者在 $A$ 内选多项式子环，例如 $k[t^2]\subseteq A$；这里则把 $A$ 扩大为函数域中的整闭环 $k[t]$。

数论中，$\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ 在 $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 中也不整闭。元素

满足 ${\alpha }^2-\alpha -1=0$，所以是整元素却不属于 $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$；完整整闭包为 $\mathbb{Z}[\alpha ]$。它也是 $\mathbb{Z}$ 在 $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 中的整闭包，而 $\mathbb{Z}$ 在 $\mathbb{Q}$ 中的整闭包仍是 $\mathbb{Z}$。同一个基环在不同环境域中会得到不同的闭包。这里完整整数环的判定见代数整数与数域整数环公理库代数整数与数域整数环Algebraic integer · Ring of integers of a number field · 数域整数环用首一整数方程定义代数整数，并通过分母与奇偶性确定二次数域的整数环。：分母限制和模 $4$ 的同奇偶条件不仅证明 $\alpha$ 整，还排除了所有未列出的元素。

整闭性弱于唯一分解。例如，分母与奇偶性论证公理库代数整数与数域整数环Algebraic integer · Ring of integers of a number field · 数域整数环用首一整数方程定义代数整数，并通过分母与奇偶性确定二次数域的整数环。证明 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 正是数域 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 的整数环，因此它整闭。但其中 $6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ 有两种不能按相伴元配对的不可约分解；四个因子的范数验证见唯一分解整环公理库唯一分解整环Unique factorization domain · UFD每个非零非单位元素都能唯一地分解为不可约元乘积的整环。。Dedekind 整环公理库Dedekind 整环Dedekind domain · 戴德金整环 · Fractional ideal · 分式理想从 Noether、整闭与非零素理想极大三个条件证明非零理想可逆及唯一素理想分解，并将具体二次整数环算例接到一般定理。说明，加上 Noether 性与非零素理想极大条件后，整闭性可以保证的是非零理想的可逆性与素理想唯一分解。

整闭性可以通过局部化公理库环的局部化Localization of rings把指定乘法闭集中的元素形式地变为可逆元所得的环。检验。对整环 $A$，

若 $\bar{A}$ 是 $A$ 在扩域 $L$ 中的整闭包，$S\subseteq A\setminus \{0\}$ 为乘法闭集，则

右侧也在 $L$ 中取整闭包。若 $b\in L$ 满足一个 $S^{-1}A$ 系数的首一方程，取系数分母的乘积 $s\in S$，将方程乘以 $s^n$，就得到 $sb$ 的首一 $A$ 系数方程。于是 $sb\in \bar{A}$，$b=(sb)/s\in S^{-1}\bar{A}$，这证明了反向包含。

若 $A$ 是域上的有限生成整环，其在自身分式域中的整闭包是有限 $A$-模，因此正规化由有限态射给出。数论中的对应对象是数域的整数环，即 $\mathbb{Z}$ 在该数域中的整闭包。两种情形都通过首一方程把扩大的环与原环联系起来。