估计量的渐近正态性

渐近正态把有限样本误差云在局部放大：未经缩放时它向真值塌缩，乘上 $r_n$ 后若轮廓稳定为椭圆正态，就能用协方差描述不同方向的局部精度。标准误估计的任务，是把这张依赖未知参数的椭圆转换成可由数据计算的近似尺度。

渐近线性骨架 ​

许多估计量满足渐近线性展开

这里固定维数 $k$，假设 $X_i$ 独立同分布，${\mathbb{E}}_{{\theta }_0}{\psi }_{{\theta }_0}=0$，且协方差矩阵 $B={\mathrm{Cov}}_{{\theta }_0}\{{\psi }_{{\theta }_0}(X)\}$ 有限。对每个固定 $a\in {\mathbb{R}}^k$，投影 $a^{\mathsf{T}}{\psi }_{{\theta }_0}(X_i)$ 是均值零、方差 $a^{\mathsf{T}}Ba$ 的独立同分布实变量。方差为正时应用一元中心极限定理公理库中心极限定理Central limit theorem适当归一化的独立随机变量和在分布上趋于正态分布。；方差为零时投影几乎必然为零。因此所有这些归一化投影都趋于 $N(0,a^{\mathsf{T}}Ba)$，再由 Cramér–Wold 定理得到联合极限 $N_k(0,B)$；这里比较的是所有固定线性投影，不只是各坐标边缘。见 Aldous 讲义，Theorems 8.2、8.4。

乘 $\sqrt{n}$ 后的 $o_P(1)$ 余项再由Slutsky 定理公理库Slutsky 定理Slutsky's theorem依分布收敛随机量与依概率收敛常量组合时，和、积与合法商保持相应分布极限。移除。$B$ 可能仅为半正定，此时得到退化多元正态；要符合开头的非退化定义，还须确认 $B$ 正定。函数 $\psi$ 称为影响函数，它把复杂估计量的一阶误差还原成可求和的单观测贡献。

对解估计方程 $n^{-1}\sum _i\psi (X_i,\theta )=0$ 的规则，在 ${\theta }_0$ 附近 Taylor 展开得到

其中 $A={\mathbb{E}}_{{\theta }_0}[{\partial }_{\theta }\psi (X,{\theta }_0)]$ 必须可逆。若 $B={\mathrm{Var}}_{{\theta }_0}\{\psi (X,{\theta }_0)\}$，极限协方差为

这里隐藏着一致性、局部可微、随机余项一致控制与矩条件；只写一次形式 Taylor 展开不足以证明结论。

在二元结局研究中，独立同分布的 Bernoulli$(p)$ 样本比例 $\hat{p}=\overline{X}$ 对每个固定内部参数 $0<p<1$ 满足

用一致的 plug-in 方差 $\hat{p}(1-\hat{p})$ 替换未知尺度，得到 studentized 形式

对每个有限 $n$，全零或全一样本仍会使分母为零；可约定在这些事件上把统计量取为零。固定 $0<p<1$ 时，它们的总概率为 $(1-p{)}^n+p^n\to 0$，所以该补充定义不改变极限分布，却不能替实际遇到边界样本时的区间程序提供保证。

例如 $n=400$ 次观察中有 100 次成功，$\hat{p}=0.25$，估计标准误为 $\sqrt{0.25\cdot 0.75/400}\approx 0.02165$，95% Wald 区间为 $0.25\pm 1.96(0.02165)\approx [0.2076,0.2924]$。极限式中的方差是 $p(1-p)$，实际估计量的近似方差则是 $p(1-p)/n$；漏掉这个 $n$ 会把局部极限尺度误当成原始误差尺度。

由此产生的 Wald 区间使用正态分位数，覆盖只在相应渐近条件下接近名义水平；它并不等于精确二项区间，罕见事件下的有限样本误差尤其明显。

若科学报告使用 log-odds $g(p)={\log }^{p/(1-p)}$，内部参数处的一阶变换给渐近方差

同一个分布族在概率与 log-odds 坐标中呈现不同标准误；协方差需要随 Jacobian 变换，裸数字没有脱离目标坐标的含义。

样本中位数展示渐近正态性并不依赖样本均值。若总体分布在唯一中位数 $m$ 附近有连续正密度 $f(m)>0$，样本中位数 $\hat{m}$ 满足

在污染物浓度等重尾测量中，这给出稳健位置估计的局部尺度；实际标准误还需估计中位数处的密度，而非套用样本均值公式。

边界与失败情形 ​

在 $p=0$ 或 $p=1$，样本比例恒在边界，方差与 studentized 分母都为零。若 $p_n=c/n$ 随 $n$ 移向边界，总成功数趋于 Poisson 律；逐个固定内部 $p$ 的正态定理无法处理这条局部序列。

样本均值的常规结论依赖有限方差；总体尾部重到方差无穷时，$\sqrt{n}$ 缩放可能失败并出现稳定分布极限。相关数据还需混合、鞅差或其他依赖条件，长期方差也不再只是单观测方差。

一致性允许许多非正态局部形状。Uniform$(0,\theta )$ 的样本最大值 $M_n$ 就是一个可算的例子。对固定 $x\ge 0$ 及充分大的 $n$，

所以一致估计量 $M_n$ 的误差是 $1/n$ 阶，极限是单侧指数分布；$|{\hat{\theta }}_n|$ 在真值零点的一阶导数不存在，常出现折叠正态而非中心正态。样本中位数若 $f(m)=0$，上面的 $\sqrt{n}$ 结论也会失效。

这个端点例子也检验Bootstrap公理库BootstrapBootstrap resampling · Nonparametric bootstrap用条件重采样律近似抽样误差：完整计算均值的有限分布，证明有限方差下一致性，并由最大值的持久原子判定失败。 的适用范围。经验重采样最大值 $M_n^{\ast }$ 等于原最大值的条件概率为 $1-(1-1/n{)}^n\to 1-e^{-1}$，所以 $n(M_n-M_n^{\ast })/M_n$ 在零点始终保留正质量，无法趋于上述连续指数律。如果误用 $\sqrt{n}$，真实与重采样的间隙都退化到零，表面上一致，却没有重现实际 $1/n$ 误差尺度上的不确定性。相反，有限方差均值的条件重采样误差确实趋于同一正态律，但证明需要检验随 $n$ 改变的条件三角阵列，不能只引用原样本的正态极限。

studentization 依赖尺度估计本身一致。对相关或异方差数据仍使用独立同方差公式时，分子可能确有正态极限，分母却收敛到错误常量，所得枢轴自然不会是标准正态。

点态正态极限可能在参数空间上高度不均匀。每个固定内部参数的近似都成立，并不保证距边界 $O(n^{-1/2})$ 的区域有统一误差控制；若区间要求诚实覆盖，必须研究局部参数序列或建立统一极限定理。

若 $V(\theta )$ 可一致估计且不退化，Wald 型标准误与置信区间公理库置信区间Confidence interval · Confidence set以重复抽样覆盖率校准参数区间，并从正态枢轴与二项等尾检验反演算出有限样本端点。可由渐近枢轴构造。覆盖误差的数量级还要借助 Berry–Esseen 界、Edgeworth 展开或有针对性的模拟；极限定理只描述 $n\to \mathrm{\infty }$，不标注某个有限样本何时“足够大”。

光滑重参数化由Delta 方法公理库Delta 方法Delta method用可微映射的一阶 Taylor 展开传播估计量的渐近分布与协方差。传播正态极限，Jacobian 奇异时则需更高阶展开。正则似然估计进一步把Fisher 信息公理库Score 与 Fisher 信息Score function · Fisher information对数似然的局部参数导数、其模型内二次平均，以及零均值和曲率等式成立的正则条件。的逆与极限协方差相连；模型失配时，$A^{-1}B{A}^{-\mathsf{T}}$ 的 sandwich 形式通常取代单纯的信息逆。