量子电路

形式陈述 ​

量子电路是在固定寄存器上按时间顺序执行的有限操作序列。本页使用三类步骤：初始化辅助寄存器，对指定寄存器施加酉门，以及计算基测量并用所得经典位选择后续门。它提供读写电路的语义；门集合的通用性、近似合成和容错成本不在本页证明范围内。

初始化为计算基零态与装载一份任意经典向量，是不同的输入任务。量子态制备公理库量子振幅编码与状态制备Amplitude encoding · Quantum state preparation用前缀平方质量逐层制备振幅编码态，处理零质量和复相位，并把经典列表读取、相干访问、门合成及逆制备的成本分别列清。用前缀概率质量构造条件旋转，并把读取经典清单、相干查询接口与归一化误差分别计费；不能仅因数据最终写在少量 qubit 的振幅中，就把装载成本记为常数。

寄存器、基与门 ​

固定复合系统公理库复合量子系统Composite quantum system · Bipartite quantum system复合量子系统以各子系统空间的张量积为状态空间，并用联合密度算子区分乘积态、可分态与纠缠态。的顺序为 $Q\otimes A\otimes B$，三个 qubit 的计算基依次为 $000,001,010,011,100,101,110,111$。图中若从上到下画 $Q,A,B$，本页也按这个顺序写张量因子。局部门必须嵌入完整空间：只在 $Q$ 上做 $U$ 表示 $U\otimes I\otimes I$，只在 $A$ 上做 $U$ 表示 $I\otimes U\otimes I$。

单 qubit 上使用

$$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),Z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$

$H$ 把计算基变成加减叠加基；$X$ 交换两个振幅；$Z$ 保持零坐标、翻转一坐标的符号。按酉矩阵公理库正交矩阵与酉矩阵Orthogonal matrix · Unitary matrix · 酉矩阵在实或复内积空间中保持内积的方阵，其逆分别等于转置或共轭转置。的检验，每个矩阵都满足 $U^{†}U=I$，所以保持纯态公理库量子纯态Quantum pure state · Pure quantum state · 纯态量子纯态由复内积空间的单位向量表示，忽略整体相位；量子比特的纯态是二维情形，一般混态则用密度算子描述。的范数。本例还满足 $H^2=X^2=Z^2=I$。令 $Y=iXZ$，则 $I,X,Y,Z$ 的张量积与相位组成Pauli 群公理库Pauli 算子与 Pauli 群Pauli operator · Pauli group · Pauli string · 泡利算子 · 泡利群保留整体相位的 Pauli 张量积群，以二进制标签计算乘法、Hermitian 条件和对易符号。，可用二进制标签计算带符号乘法和对易性。

在两寄存器顺序 $Q\otimes A$、基顺序 $00,01,10,11$ 下，以 $Q$ 控制、$A$ 为目标的受控非门为

$${\mathrm{CNOT}}_{Q\to A}|q,a⟩=|q,a\oplus q⟩,\mathrm{CNOT}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right).$$

它对任意叠加按线性性作用，不先读取 $q$。门图中的实心点是量子控制，圆圈加号是目标；互换控制与目标会改变矩阵。在三寄存器上，该门为 ${\mathrm{CNOT}}_{Q\to A}\otimes I_B$。

一般受控酉门的同一语义是 $\mathrm{c}U=|0⟩⟨0|\otimes I+|1⟩⟨1|\otimes U$。若目标态满足 $U|u⟩=e^{2\pi i\phi }|u⟩$，控制线的 $|+⟩$ 就变成 $(|0⟩+e^{2\pi i\phi }|1⟩)/\sqrt{2}$，目标仍为 $|u⟩$。量子相位估计公理库量子相位估计Quantum phase estimation · QPE用受控酉幂将特征相位写入控制寄存器，再以逆 Fourier 变换读出，推导精确情形、有限概率分布与实际查询成本。用不同受控幂累积这种相对相位，再通过量子 Fourier 变换公理库量子 Fourier 变换Quantum Fourier transform · QFT从有限 Fourier 矩阵的酉性与二进制分解推导 Hadamard、受控相位门和位反转电路，并区分振幅变换与经典输出。的逆电路读出；已知门电路能否受控与未知黑盒是否提供受控访问，是两项不同假设。

若只想估计给定态上的 $⟨\psi |U|\psi ⟩$，Hadamard 测试公理库Hadamard 测试Hadamard test逐振幅推导受控酉期望值的实部和虚部读出，固定S逆门的相位约定，并给出样本数、输入制备和黑盒控制访问的完整成本。使用一次受控 $U$ 与一位干涉读出。末端加 $S^{†}$ 可读取虚部；重复采样得到期望估计，并不要求输入预先是 $U$ 的特征态。

顺序与测量更新 ​

电路时间从左向右。先执行 $U$ 再执行 $V$，状态为 $V(U|\psi ⟩)$，所以总矩阵是 $VU$。这条规则也适用于张量嵌入后的门，不能按图上从左向右的顺序直接抄成矩阵乘积。

计算基测量 $Q$ 的操作算子是 $M_m=|m⟩⟨m{|}_Q\otimes I_{AB}$。对联合密度算子 $\rho$，结果 $m$ 的概率与条件态分别是

$$p_m=\mathrm{Tr}(M_m\rho M_m),{\rho }_{\mid m}=M_m\rho M_m/p_m(p_m>0).$$

纯态时等价于先求未归一化向量 $M_m|\psi ⟩$，取其平方范数为概率，再除以 $\sqrt{p_m}$。这里明确选定投影式状态更新；一般POVM公理库正算子值测度（POVM）Positive operator-valued measure · POVM · 正算子值测度有限结果 POVM 是一组和为恒等算子的半正定效应算子，它通过迹公式规定各测量结果的概率。的效应本身只规定概率。后续写 $X^m$ 表示根据已经测得的经典位决定执行 $I$ 或 $X$；经典消息通常画双线，它不同于测量前保留相干性的量子控制。

直觉

一条量子线标记一个仍在演化的寄存器，不是一串可随意读取的振幅。局部门虽然只碰一条线，计算它的效果仍可能需要联合态，因为这条线可能与别的线纠缠。测量则把一部分振幅关系变成可复制的经典结果，并改变后续能够使用的状态。

固定基顺序是把电路翻译成矩阵的第一步。软件画图的位置和数组中的高低位不一定一致；例如 Qiskit 的上方第零根线对应张量最右因子。本页明确采用 $Q,A,B$ 从左到右的张量顺序，使用软件复算时须显式转换。

例子与边界

从局部门得到 Bell 资源 ​

让 $A,B$ 初始处于 $|00⟩$。先对 $A$ 做 $H$，再做 ${\mathrm{CNOT}}_{A\to B}$，得到

$$|00⟩\stackrel{H_A}{\to }\frac{|00⟩+|10⟩}{\sqrt{2}}\stackrel{{\mathrm{CNOT}}_{A\to B}}{\to }\frac{|00⟩+|11⟩}{\sqrt{2}}=|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩.$$

总矩阵为 $W=\mathrm{CNOT}(H\otimes I)$。若旁边还有未操作的输入 $|\psi {⟩}_Q$，上述每一步前面都保留因子 $|\psi {⟩}_Q$。生成的 Bell 态为何纠缠，已有复合量子系统公理库复合量子系统Composite quantum system · Bipartite quantum system复合量子系统以各子系统空间的张量积为状态空间，并用联合密度算子区分乘积态、可分态与纠缠态。中的秩一判据可以检验。

这里的 CNOT 同时作用于 $A,B$，所以制备阶段必须能让两者相互作用。若之后将它们交给分离的 Alice 与 Bob，这次制备和分发应发生在分离前，或者另行记入通信资源；不能把跨实验室的 CNOT 当成免费本地门。

测量会改变可以继续使用的状态 ​

对 $|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩$ 测量 $A$，未归一化分支为 $|00⟩/\sqrt{2}$ 和 $|11⟩/\sqrt{2}$，各概率 $1/2$。得知结果后，联合态分别是 $|00⟩$、$|11⟩$；忘记结果则得到两者的等权密度混合。因而不能把“测量但不看结果”当作没有测量，它已经消除了两个分支之间的相干。

自测：将制备电路的两步互换会怎样？CNOT 先作用于 $|00⟩$ 不改变输入，后做 $H_A$ 只得到 $|+{⟩}_A|0{⟩}_B$，仍为乘积态。再验证原顺序的逆电路先做 CNOT、后做 $H_A$，确实把 $|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩$ 送回 $|00⟩$。

推论与应用

Bell 测量公理库Bell 测量Bell measurement · Bell-basis measurement · Bell 基测量用 CNOT 与 Hadamard 将四个 Bell 向量解码为计算基标签，并区分相同测量效应下不同的测后状态。把上述逆电路作用于全部四个 Bell 向量，再用计算基测量读出标签。量子传态公理库量子传态Quantum teleportation · 量子隐形传态以预共享 Bell 对和两位经典消息传输未知 qubit 状态，逐分支证明校正，并计算消息到达前的最大混合态。进一步将标签作为跨实验室的经典控制信号，因此必须同时区分门顺序、量子线和经典线。

量子查询模型公理库量子查询模型Quantum query model · Quantum black-box model将输入封装为可在叠加索引上相干调用的 oracle，并只计输入相关调用次数的有限维量子黑盒模型。也用门序列描述计算，但其主要成本是调用未知输入 oracle 的次数。一个电路中的普通门数和查询数是两本不同的账；写出有限电路不自动证明其实现高效。

有限门集合成与误差公理库固定门集近似与测量误差预算Finite gate approximation · Quantum gate synthesis error budget从单qubit旋转的算子误差推到任意参考系统上的测量总变差，逐门分配合成预算，并处理受控门中的相对相位。补上这里未处理的实现接口：旋转角误差经算子范数、逐门替换和迹距离变成最终测量偏差，并解释为何不能在加控制前随意丢弃目标门的整体相位。

对执行时发生的位置故障，量子故障传播公理库量子电路中的故障传播Pauli fault propagation · Quantum circuit fault model把门、制备、测量与等待都当作故障位置，用Pauli共轭追踪错误扩散，并明确线性展开、随机Pauli模型与相干噪声之间的区别。逐门共轭追踪错误：CNOT控制端的 $X$ 与目标端的 $Z$ 会沿不同方向复制。横向门公理库横向量子门Transversal quantum gate · Transversal gate同时检查横向门的每块错误传播界与逻辑作用，逐生成元证明CSS逻辑CNOT，并揭示七qubit横向S实现逻辑S的逆。限制每个局部门在每块最多接触一位，从而控制同块扩散；是否保持码空间、实现哪一个逻辑门仍需另外核对。

参考资料

• IBM Quantum Learning, Basics of Quantum Information，Quantum circuits / Circuits，在线版，核验于 2026-10-03；“Quantum circuits”及“Qiskit's qubit ordering convention”讨论时间顺序、受控门和张量顺序。本文矩阵按明示的寄存器顺序自行展开。