群

群刻画的是一套可以连续执行、也可以完整撤销的动作。结合律保证三次以上的复合不依赖括号怎样安放；单位元表示“不做任何改变”；逆元把每一步动作退回原状。

这里的“可撤销”要求对所有输入统一有效的反向操作，不是某次运行恰巧回到了原状态。例如交换两个位置做两次就是单位操作，而把不同输入都重置为同一值会丢掉原信息，不能成为可逆动作。正因为左乘 $g$ 的逆操作是左乘 $g^{-1}$，群中的平移总是双射，这一点随后支撑陪集等势、Lagrange 定理和群作用中的轨道计数。

结合律并不表示次序无关。把一个物体先旋转再翻折，与先翻折再旋转，通常产生不同位置；群只允许省略括号，不允许任意交换因子。若动作的先后也不影响结果，才额外进入阿贝尔群。若保留结合律和单位元，却不要求每一步可撤销，则只得到幺半群公理库幺半群Monoid具有双侧单位元的半群。。

把群看成“对象的集合”容易错过要点：运算是结构的一半。例如整数在加法下是群，在通常乘法下却不是群；可逆矩阵在矩阵乘法下是群，而全体矩阵不是，因为奇异矩阵无逆。判断群时，必须同时说明底层集合和运算。

$(\mathbb{Z},+)$ 是无限阿贝尔群，单位元为 $0$，$n$ 的逆元为 $-n$。取整数 $m\ge 1$，模 $m$ 的剩余类在加法下形成有限群 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$；“加到 $m$ 就回到 $0$”来自取模，群公理本身没有变化。

域 $F$ 上的可逆矩阵构成一般线性群 ${\mathrm{GL}}_n(F)$。结合律来自矩阵乘法，单位元是 $I_n$，集合只保留可逆矩阵以保证逆元存在。当 $n\ge 2$ 时它通常不交换，这使它成为“可逆但次序敏感”的标准模型。

把正三角形的顶点编号为 $1,2,3$。它的六个刚性对称恰好实现顶点的全部排列，组成置换群 $S_3$。记号 $(12)$ 表示交换顶点 $1,2$ 并固定 $3$，$(123)$ 表示把 $1$ 送到 $2$、$2$ 送到 $3$、$3$ 送回 $1$。取 $\sigma =(12)$、$\tau =(123)$，约定右侧先作用。

计算 $\sigma \tau$ 时，$1$ 先经 $\tau$ 到 $2$，再经 $\sigma$ 回到 $1$；同样跟踪可得 $2\mapsto 3$、$3\mapsto 2$，所以 $\sigma \tau =(23)$。反过来，$\tau \sigma$ 把 $1$ 送到 $3$、$3$ 送到 $1$，固定 $2$，所以 $\tau \sigma =(13)$。这个计算只否定交换律，并不破坏群结构：复合仍是对称，恒等对称在其中，每个对称也有反向对称。

几个失败例子分别对应不同公理。$({\mathbb{N}}_0,+)$（非负整数加法）有结合律和单位元 $0$，正整数却没有加法逆元；$(\mathbb{R},\times )$ 中的 $0$ 没有乘法逆元，删去 $0$ 后才得到 ${\mathbb{R}}^{\times }$；而减法虽然是 $\mathbb{Z}$ 上的二元运算，却不结合，因为 $(1-2)-3\ne 1-(2-3)$。空集也不能成为群，因为单位元必须是集合中的元素。

整数幂可由 $a^0=e$、$a^{n+1}=a^{n}a$ 和 $a^{-n}=(a^{-1}{)}^n$ 定义，并满足 $a^m{a}^n=a^{m+n}$。不过 $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$，因为 $(ab)(b^{-1}{a}^{-1})=a(b{b}^{-1})a^{-1}=e$，反向相乘也得 $e$。撤销复合动作时必须反向进行；只有在 $a,b$ 交换时才能把右边改写成 $a^{-1}{b}^{-1}$。

子群公理库子群Subgroup在原群的同一运算下自身仍构成群的非空子集。寻找群内部仍能独立完成乘法与撤销的部分，生成子群公理库生成子群Generated subgroup · Subgroup generated by a set包含指定元素集的最小子群，也就是生成元及其逆元的一切有限乘积。则从指定动作出发补齐群公理所迫使出现的元素。群同态公理库群同态Group homomorphism保持群运算的映射，核记录被消去的信息，像记录实际保留下来的结构。比较两个群的运算结构；它的核引出正规子群公理库正规子群Normal subgroup在全群共轭下保持不变、因而可作为同态核并形成商群的子群。，正规子群的陪集又组成商群公理库商群Quotient group将正规子群压成单位元后，在其陪集商集上诱导出的群。。这条链把“可逆运算”逐步发展成群的内部结构、结构保持映射与结构压缩。

群还可以通过群作用公理库群作用Group action群元素以保持单位元与乘法的方式作用于集合。作用在另一个集合上。群元素充当变换，被作用集合则提供承受变换的点；区分这两类对象，才能准确表达几何对称、置换表示和轨道—稳定子关系。