有限群卷积的矩阵分块

普通循环卷积用标量频率相乘。非交换群需要保留矩阵乘法：同一不可约类型内部仍可能把一个方向搬到另一个方向，不能把这份信息压成一个迹。

Peter–Weyl定理理路Peter–Weyl 定理Peter-Weyl theorem紧群的不可约酉表示矩阵系数组成 L² 的正交基；由 Schur 平均解释正交性，并在圆群中完成 Fourier 系数计算。已经给出矩阵系数的正交完备性。本页处理它的有限计算出口：把完整函数表变成矩阵块，解方程，再返回原来的群坐标。块的总坐标数仍为 $\sum _{\rho }{d}_{\rho }^2=N$；分块并没有凭空压缩一般函数的数据量。

S3 的六个坐标不能缩成三个迹 ​

写 $S_3=⟨r,s:r^3=s^2=e,srs=r^{-1}⟩$，固定顺序

采用既有S3分类理路S3 特征标表的计算Character table of S3 · S₃ character table从三点置换表示构造 S3 的完整复特征标表，以加权正交检验不可约性并分解正则表示。中的平凡、符号与二维标准表示。前两者在 $r$ 上取1，在 $s$ 上分别取1、$-1$；标准表示取

它们满足定义关系，且为实正交矩阵；其特征标就是旧表的标准行。六个坐标因而变成两个标量和一个二阶矩阵。

取整数值函数

直接求和得到

三个块的迹全为零，函数却非零。只保留特征标读数会把它误判成零函数。完整块又给出 $u\ast u=0$、$\mathrm{rank}{L}_u=2$。因此非零卷积算子也可能幂零，并不总能对角化。

于是 $a={\delta }_e+u$ 有简单的双侧逆 $a^{-1}={\delta }_e-u$。标准块是剪切矩阵 $I+2\sqrt{3}{E}_{12}$，它的两个奇异值为 $2+\sqrt{3}$ 与 $2-\sqrt{3}$；各在 $L_a$ 中出现两次，另外还有两个奇异值1。虽然所有特征值都是1，$\Vert L_a{\Vert }_2=2+\sqrt{3}$，二范数条件数为 $7+4\sqrt{3}$。求解的长度放大不能只读特征值的模。

一个奇异卷积方程的全部自由度 ​

令 $q={\delta }_e-{\delta }_s$。三块依次为

因此 $q\ast h=b$ 相容恰好要求平凡块 $F_{\mathbf{1}}(b)=0$，且标准块 $F_{\rho }(b)$ 的第一行全零。相容时，符号块解为 $F_{\mathrm{sgn}}(b)/2$，标准块的第二行为 $F_{\rho }(b)$ 第二行的一半，第一行任意；平凡块也任意。

总共三个自由标量，与 $6-\mathrm{rank}{L}_q=6-3=3$ 一致。例如 $b=q$ 时可取 $h=q/2$，再加任意核元素；$b={\delta }_e$ 则因平凡块为1而无解。若改问 $h\ast q=b$，标准块要检查的是第二因子的列作用，约束变成第一列为零，不能照抄前面的第一行条件。

类函数何时真的只需标量 ​

若 $f$ 在共轭类上常值，则每个 $F_{\rho }(f)$ 与全部 $\rho (g)$ 对易，Schur引理理路Schur 引理Schur's lemma · 舒尔引理不可约表示之间的非零交织算子必为同构，而有限维复不可约表示的自交织算子只能是标量。给出 $F_{\rho }(f)={\lambda }_{\rho }I$。反过来，若全部块是标量，式(2)把 $f$ 写成特征标的组合，所以 $f$ 为类函数。只有这项条件成立时，每块一个标量才足够。

少列一份不可约表示，或者将同一表示重复两次，都不符合完整反演的输入合同。实数或模特征上的不可约列表也不能直接代替复数列表；尤其当域特征整除群阶时，群代数可能有非零幂零理想，简单表示看不到全部数据。

由正则特征标直接证明反演 ​

正则表示的分解理路特征标正交关系Character orthogonality · Orthogonality of characters · 特征标正交定理有限群的不可约复特征标构成类函数空间的正交规范基，其内积直接给出表示分解的重数。给出

把式(1)代入式(2)右边，先对 $g$ 求和，式(7)只留下 $g=x$ 的一项，反演成立。它给变换的左逆；源和目标同为 $N$ 维，所以变换是同构，每套任意矩阵块都有唯一原函数。

卷积恒等式则由 $x=yz$ 直接得到：

分开的两个和正是 $F_{\rho }(f)F_{\rho }(h)$。这也证明逐块求逆后恢复的是双侧卷积逆，而非只满足一边的候选。

奇异值为什么按同样重数出现 ​

酉性使 $\rho (g{)}^{\ast }=\rho (g^{-1})$。展开块的Frobenius内积，再用式(7)，得到

所以将各块缩放为 $\sqrt{d_{\rho }/N}{F}_{\rho }(f)$ 后，变换为酉坐标变换。每个块按列展开，$L_f$ 就成为 $d_{\rho }$ 份同一 $F_{\rho }(f)$ 的直和。由奇异值分解理路奇异值分解Singular value decomposition · SVD任意有限维线性映射都可在正交规范基下表示为非负对角伸缩。，其奇异值也按此重数并在一起：最大奇异值是各块最大值，可逆时最小奇异值是所有块最小值的最小者。非酉换基仍保代数反演与秩，却不保这里的普通Frobenius范数，必须同时记录新的内积矩阵。

可以核查的求解过程与成本 ​

在已给群乘法表及完整表示矩阵的前提下，直接累计所有块需 $O(N\sum d_{\rho }^2)=O(N^2)$ 次精确复数算术。反演也可逐条目在 $O(N^2)$ 内完成。逐块用消元理路行化简Row reduction用初等行变换把矩阵化为阶梯形以求解线性方程组和判定秩。检查相容性并求解，通常稠密成本为 $O(\sum d_{\rho }^3)$，但这里未包含寻找不可约表示或建表的成本，也没有宣称通用 $O(N\log N)$ FFT。

交付证书应同时保留群坐标顺序、表示矩阵、归一化、各块秩及解的自由列，再在原式(3)中复核 $L_{f}h=b$。仅在变换域得到一组数字，还没有检查群乘法方向或最后反演是否正确。

支撑与秩不确定性理路有限群的支撑与秩不确定性Finite-group support-rank uncertainty · Meshulam rank-support inequality用平移基的支撑覆盖证明任意域上的稀疏度与卷积秩乘积界，再给平移不变空间的擦除恢复保证和精确秩判据。进一步用式(4)限制一个非零函数能有多稀疏，并在任意域的平移不变空间中给出擦除恢复保证。可按四项终点任务实际完成非中心逆、奇异方程、秩证书与模特征迁移。