Hill 尾指数估计量

精确幂尾在对数坐标上变成指数尾。Hill 估计量因此就是高门槛以上对数超额的平均值。

选小 $k$，门槛高，更接近渐近幂尾，但估计波动大；选大 $k$，数据多，却可能把尚未进入幂尾的主体分布也拉进来。多看几个门槛是模型敏感性检查，不能把一段偶然平坦的曲线当作无偏保证。

八个数据的手算 ​

取排序后的样本

若 $k=3$，门槛是 $X_{(5)}=2$，所以

对应 $\hat{\alpha }\approx 1.2073$。若误把第三大值 $3$ 当分母，就会把门槛推入已选的三个观测，改变估计量。

换 $k=2$，门槛三，得到 $\hat{\xi }\approx 0.6343$；换 $k=4$，门槛 $1.8$，得到 $\hat{\xi }\approx 0.7266$。三个结果并不相同。这份小样本只用于展示算式与门槛敏感性，不足以据此认证某个精确总体尾指数。

尺度不变，平移却会改变 ​

把全部数据乘正数 $c$，比值中的 $c$ 抵消，Hill 估计量不变。把全部数据加上常数 $b$，则 ${\log }^{(X+b)/(u+b)}$ 一般不等于 $\log \left(X/u\right)$，有限样本估计会改变。

它也不是所有极值形状的通用估计量：负形状的有限端点、零形状的指数型吸引域都不满足本页 $\xi >0$ 的目标模型。截断的幂尾在截断以下可能看起来很直，但最终不再具有无穷远正则变化尾。

从 Pareto 的对数超额得到估计量 ​

对精确 Pareto 模型 $P(X>x)=x^{-1/\xi }$，$x\ge 1$，给定 $X>u$ 后，

所以对数超额服从均值 $\xi$ 的指数分布公理库指数分布Exponential distribution具有恒定失效率和连续无记忆性的非负等待时间分布。。对几乎每个随机门槛 $X_{(n-k)}$ 的取值，其上方 $k$ 个数去掉排序后，条件联合分布可表示为独立的这种指数变量；排序不会改变它们的和。因此精确 Pareto 情形有

且 $k{\hat{\xi }}_{k,n}/\xi$ 是 $k$ 个率一指数变量之和。$\hat{\xi }$ 的无偏性不传给倒数：$k>1$ 时 $E\hat{\alpha }=\alpha k/(k-1)$。

一般正则变化下为什么仍一致 ​

令 $U(t)=F^{\leftarrow }(1-1/t)$，则尾假设等价于 $U\in R{V}_{\xi }$。可以用标准 Pareto 变量 $Y_i$（尾为 $1/y$）表示 $X_i\stackrel{d}{=}U(Y_i)$。设 $T_n=Y_{(n-k)}$，因 $k/n\to 0$，$T_n\to \mathrm{\infty }$ 依概率。

给定 $T_n$ 后，其上的未排序比值 $V_j=Y_i/T_n$ 仍是标准 Pareto 样本。Potter 界说明：对任意 $\epsilon >0,A>1$，当 $T_n$ 足够大时，全部 $v\ge 1$ 都满足

平均后，Hill 估计量与 $\xi k^{-1}\sum _j\log V_j$ 的差被 $\log A+\epsilon k^{-1}\sum _j\log V_j$ 控制。这个条件样本的联合律不依赖门槛，所以该平均与一列固定的 IID 率一指数变量之前 $k$ 项平均同分布。大数定律公理库强大数定律Law of large numbers · Strong law of large numbers · SLLN独立同分布且可积时，样本均值沿几乎每条无限样本路径收敛到共同期望。因而使它依概率趋向一。最后让 $A\downarrow 1$、$\epsilon \downarrow 0$，便得到一致性。这个证明只需一阶正则变化，不要求二阶偏差已经比标准误小。

渐近正态为何多出偏差项 ​

一种标准二阶条件是：存在最终非零且符号固定的 $A(t)\to 0$、$\rho \le 0$，使

$\rho =0$ 时右侧取 $x^{\xi }\log x$。在这一二阶条件下，若中间次序还满足 $\sqrt{k}A(n/k)\to \lambda \in \mathbb{R}$，则

偏差常数可以从对数超额展开理解：二阶修正对标准 Pareto 比值的平均为

完整极限还须控制随机门槛和二阶余量；不能只凭这一个积分就省掉条件。估计量渐近正态公理库估计量的渐近正态性Asymptotic normality of estimators估计误差在明确中心、速率与协方差下趋于正态律，以及线性化、标准化和边界失效机制。在这里可能带非零中心。只有 $\lambda =0$ 等偏差可忽略情形，才可直接使用以 $\hat{\xi }$ 为中心、标准误约为 $\hat{\xi }/\sqrt{k}$ 的通常近似。