线性系统的可控性

$B$ 给出输入当下能推动的方向，$AB,A^{2}B,\dots$ 则记录动力学怎样把这些作用传递到其他坐标。执行器少于状态维数不意味着不可控：一个改变速度的力，经过时间积累也能改变位置。真正的问题是这些传播方向能否张成整个状态空间。

正常执行器 $B=e_2$ 经动力学传播能张成二维空间，而退化执行器 $B=e_1$ 只能产生位置方向的增量。左图蓝色方向 $e^{At}{e}_2=(t,1{)}^{\mathsf{T}}$ 随时间改变，两个不同时间的方向已线性无关；红色箭头表示始终不变的 $e_1$，为避免与坐标轴重叠而稍向下平移，其竖直分量仍为零。右图只测速度，同一水平虚线上的状态具有相同输出，表达的是可观测性公理库线性系统的可观测性Observability of a linear system · Kalman 可观测性秩判据用观测 Gramian 重建初态，再分离不可观子空间，证明可检测性与稳定输出注入的等价关系。中的初态不可辨，而非输入方向的缺失。

为什么秩与 Gramian 给出同一个答案 ​

对任意 $v\in {\mathbb{R}}^n$，

因此 $W_c$ 半正定。若上式为零，由被积函数连续可知 $B^{\mathsf{T}}{e}^{A^{\mathsf{T}}t}v$ 恒为零；在 $t=0$ 逐阶求导，得到 $B^{\mathsf{T}}(A^{\mathsf{T}}{)}^{k}v=0$，特别是 $0\le k<n$ 时成立。反过来，若这前 $n$ 项为零，Cayley–Hamilton 定理公理库Cayley–Hamilton 定理Cayley–Hamilton theorem每个有限维线性算子都满足自己的特征多项式。将更高次幂化为前 $n$ 次幂的线性组合，故所有项均为零，矩阵指数的级数也为零。于是

这对每个正 $T$ 都成立，从而证明了秩条件与两个正定条件等价。

再把目标与自由演化的差记为 $d=x_T-e^{AT}{x}_0$，并令

若 $W_c$ 可逆，取

直接代入得到 $L_T{u}_{\ast }=d$，所以目标可达。若 $W_c$ 奇异，取非零 $v\in \ker W_c$，所有输入都满足 $v^{\mathsf{T}}{L}_{T}u=0$，目标增量 $d=v$ 就不可能实现。这完成全部等价关系的证明，也说明从零出发的全空间可达性在本模型中足够判断任意初末状态的可控性。

最小输入能量与双积分器 ​

上述 $u_{\ast }$ 还在所有到达同一终点的输入中唯一地（按几乎处处相等）最小化 ${\int }_0^T\Vert u{\Vert }^{2}dt$。事实上，任意可行输入可写成 $u=u_{\ast }+w$，其中 $L_{T}w=0$，而

勾股分解因此给出

取位置、速度状态 $x=(x_1,x_2{)}^{\mathsf{T}}$，令

此时 $\mathcal{C}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ 满秩，且

要求在一单位时间内从 $(0,0)$ 到 $(1,0)$，有

积分得到速度 $x_2(s)=6s-6s^2$、位置 $x_1(s)=3s^2-2s^3$，端点确为 $(1,0)$，能量为 ${\int }_0^1(6-12s{)}^{2}ds=12$。控制先加速、后减速，最终位置改变而速度归零。

若改成 $B=e_1$，则 $AB=0$，可达增量只有 $\mathrm{span}(e_1)$，$W_c(T)=\mathrm{diag}(T,0)$；速度不受输入影响。这里所有结论均在无约束实输入下成立，加入饱和或非负输入约束后，满秩不能保证任意时限内到达任意目标。

可达子空间与不可控块 ​

令 $\mathcal{R}=\mathrm{im}\mathcal{C}$。Cayley–Hamilton 定理给出 $A\mathcal{R}\subseteq \mathcal{R}$，且 $\mathrm{im}B\subseteq \mathcal{R}$。选取 $\mathcal{R}$ 的一组基，再补成全空间基，以这些列组成可逆矩阵 $T$。在坐标 $x=Tz$ 下，

左下零块来自 $\mathcal{R}$ 的不变性，输入的下块为零来自 $\mathrm{im}B\subseteq \mathcal{R}$。所有 ${\tilde{A}}^j\tilde{B}$ 的上块为 $A_c^j{B}_c$、下块为零；它们张成全部前 $r=\dim \mathcal{R}$ 个坐标。因此 $(A_c,B_c)$ 可控，更高次幂再由 $A_c$ 的 Cayley–Hamilton 关系约化。

任意负反馈公理库线性状态反馈与稳定化Linear state feedback · 线性反馈稳定化用全状态反馈改变闭环谱，证明单输入可控系统的极点配置，并区分可控与可稳定。 $u=-\tilde{K}z$，写 $\tilde{K}=(K_c{K}_u)$，都会给出

所以不可控块 $A_u$ 的特征值完全不随反馈改变。系统可稳定当且仅当 $A_u$ 为 Hurwitz，即其全部特征值实部严格为负；下面补足“可控块总能稳定”的充分性。

多输入可控块的一个稳定增益 ​

若 $r>0$，选 $\alpha >\Vert A_c{\Vert }_2$，令 $H=A_c+\alpha I$。$-H$ 为 Hurwitz。平移和取负号不改变输入的 Krylov 张成空间，故 $(-H,B_c)$ 仍可控。于是

收敛且正定：收敛来自指数衰减，正定可由任意正时长的有限 Gramian 正定得到。对被积矩阵求导并积分，有

取 $K_c=B_c^{\mathsf{T}}{W}^{-1}$、$F=A_c-B_c{K}_c$，则

左右乘 $W^{-1}$，得到 $F^{\mathsf{T}}{W}^{-1}+W^{-1}F\prec 0$。对任意复特征向量 $Fv=\lambda v$，左侧的二次型为 $2\mathrm{Re}\lambda v^{\ast }{W}^{-1}v$，故 $\mathrm{Re}\lambda <0$。这直接证明可控块可以稳定，且不要求单输入。

若 $A_u$ 已稳定，令 $K_u=0$ 即使两个对角块都稳定，原坐标增益为 $K=\tilde{K}{T}^{-1}$。若 $r=0$，没有可控块，结论退化为 $A$ 自身必须稳定；若 $r=n$，不可控块为空，其稳定条件自动满足。

例如 $A=\mathrm{diag}(0,-2)$、$B=e_1$ 只有第一方向可控，但第二方向自行指数衰减。取 $K=(10)$ 即得闭环 $\mathrm{diag}(-1,-2)$。把第二个对角元改成零或正数，就无法通过这个执行器实现指数稳定。半正定代价的 LQR 例子公理库连续时间线性二次调节器Continuous-time linear quadratic regulator · Continuous-time LQR · 连续时间LQR从零终端代价的有限时域 Riccati 解构造稳定 CARE 极限，在半正定状态代价下证明最优性与唯一性，并复算双积分器及双曲正切轨道。继续使用前一种系统，明确计算有限时域到无限时域的价值矩阵。

与可观测性的转置对应 ​

上述有限维、实常系数、任意正有限时域的可控性判据，经 $(A,B)\mapsto (A^{\mathsf{T}},B^{\mathsf{T}})$，恰与可观测性判据公理库线性系统的可观测性Observability of a linear system · Kalman 可观测性秩判据用观测 Gramian 重建初态，再分离不可观子空间，证明可检测性与稳定输出注入的等价关系。对应。转置系统把 $B^{\mathsf{T}}$ 当输出矩阵，其观测矩阵是 ${\mathcal{C}}^{\mathsf{T}}$，观测 Gramian 也等于本页的 $W_c(T)$。所以 $(A,B)$ 可控当且仅当该转置系统可观。这个等价交换的是给定矩阵的输入与输出角色，并不把原系统的实际执行器当成传感器。

到达能量与稳定调节 ​

满秩回答“能否到达”，$d^{\mathsf{T}}{W}_c^{-1}d$ 则回答“到达要花多少输入能量”。Gramian 很小的特征值对应昂贵方向，因此理论可控不等于数值上容易控制。数值求解宜使用线性方程求解器计算 $W_c^{-1}d$，不必显式求逆。

线性状态反馈公理库线性状态反馈与稳定化Linear state feedback · 线性反馈稳定化用全状态反馈改变闭环谱，证明单输入可控系统的极点配置，并区分可控与可稳定。进一步让输入随当前状态变化，以改变未来轨道；线性二次调节器公理库连续时间线性二次调节器Continuous-time linear quadratic regulator · Continuous-time LQR · 连续时间LQR从零终端代价的有限时域 Riccati 解构造稳定 CARE 极限，在半正定状态代价下证明最优性与唯一性，并复算双积分器及双曲正切轨道。还同时惩罚状态偏差与输入。本页求固定终点的有限时域最小能量输入，LQR 则求无限时域的最优调节反馈；各自的最优解由相应时域、约束和代价共同决定。