线性系统的可观测性

形式陈述

固定状态维数 $n\ge1$ ，考虑实系数、有限维、连续时间常系数系统

x'=Ax+Bu,\qquad y=Cx,

其中 $A\in\mathbb R^{n\times n}$ 、 $B\in\mathbb R^{n\times m}$ 、 $C\in\mathbb R^{p\times n}$ 。在任意 $[0,T]$ 上，输入 $u\in L^2$ 已知，状态是满足线性 ODE的绝对连续解，输出无测量噪声。称 $(A,C)$ 可观测，若任意 $T>0$ 上的输入、输出轨迹唯一确定初态 $x_0$ 。

定义观测矩阵与观测 Gramian：

\mathcal O=\begin{pmatrix}C\\CA\\\vdots\\CA^{n-1}\end{pmatrix},\qquad W_o(T)=\int_0^T e^{A^{\mathsf T}t}C^{\mathsf T}Ce^{At}\,dt.

可观测性等价于 $\mathcal O$ 的列秩为 $n$ ，也等价于某个（从而每个）正 $T$ 上 $W_o(T)$ 正定。传感器不必瞬时读出整个状态，动力学带来的时间信息可以补足缺失坐标。

直觉

仅看一张位置照片，无法知道初速度；看一段准确的位置轨迹则可以。可观测性比较的是两个初态在同一已知输入下能否产生完全相同的输出。输入的贡献可以计算并扣除，因此判断初态是否可辨只依赖 $A,C$ ，不依赖本次实际输入有多丰富。

这里 $A,B,C$ 都已给定，所求的是初始状态。状态空间时间序列模型还要描述随机状态与观测误差，未知参数的统计识别与状态的后验不确定性则需要进一步考察观测分布。

例子与边界

从不可辨方向到重建公式

由常数变易公式，扣掉已知输入贡献后得到

z(t)=y(t)-C\int_0^t e^{A(t-s)}Bu(s)\,ds=Ce^{At}x_0.

两初态相差 $v$ 时，校正输出之差为 $Ce^{At}v$ ，且

v^{\mathsf T}W_o(T)v=\int_0^T\|Ce^{At}v\|^2dt.

零积分由连续性等价于输出差恒为零。对恒等式在零点求导，得到 $CA^kv=0$ ，故 $v\in\ker\mathcal O$ 。反向使用Cayley–Hamilton 定理：前 $n$ 项为零推出全部高次项为零，再代入指数级数。因此

\ker W_o(T)=\ker\mathcal O=\{v:Ce^{At}v=0\text{ 对所有 }t\in[0,T]\}.

只要这个核非零， $x_0$ 与 $x_0+v$ 就无法区分；核为零则初态唯一，证明了秩、正定与可观测性等价。满秩时还有具体重建式：将 $z(t)=Ce^{At}x_0$ 左乘 $e^{A^{\mathsf T}t}C^{\mathsf T}$ 并积分，得到

x_0=W_o(T)^{-1}\int_0^T e^{A^{\mathsf T}t}C^{\mathsf T}z(t)\,dt.

同一运动，两个传感器

令 $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ ，正常传感器 $C=(1\ 0)$ 测位置。则

Ce^{At}=(1\ t),\quad \mathcal O=I_2,\quad W_o(T)=\begin{pmatrix}T&T^2/2\\T^2/2&T^3/3\end{pmatrix},\quad \det W_o(T)=T^4/12.

校正输出 $z(t)=a+bt$ 的截距和斜率分别为初始位置与速度。在 $T=1$ 时，若测得 $z(t)=2-t$ ，则

\int_0^1\binom1t z(t)dt=\binom{3/2}{2/3},\qquad W_o(1)^{-1}=\begin{pmatrix}4&-6\\-6&12\end{pmatrix},

相乘确得 $x_0=(2,-1)^{\mathsf T}$ 。

若改测速度， $C=(0\ 1)$ ，则 $CA=0$ 、 $W_o(T)=\operatorname{diag}(0,T)$ ，不可观空间为 $\operatorname{span}(e_1)$ 。任意初始位置差都不改变速度输出。保留执行器 $B=e_2$ 时系统仍然可控，说明可控不推出可观；反过来取 $B=e_1,C=(1\ 0)$ ，系统可观却不可控。

重建公式要求准确、连续时间的输出轨迹。噪声或模型误差会传入重建结果，即使 Gramian 正定，接近奇异也会放大这些误差。有限采样下须按采样后的模型重新判断可观测性，再用相应的离散重建或估计方法。

推论与应用

不可观分解与可检测性

令 $\mathcal N=\ker\mathcal O$ 。由 Cayley–Hamilton 定理， $A\mathcal N\subseteq\mathcal N$ ；并且 $\mathcal N\subseteq\ker C$ 。取 $\mathcal N$ 的基在前，补成可逆矩阵 $T$ ，得到

\widetilde A=T^{-1}AT= \begin{pmatrix}A_u&A_{12}\\0&A_o\end{pmatrix}, \qquad \widetilde C=CT=(0\ C_o). \tag{1}

其中 $(A_o,C_o)$ 可观。若某个非零 $z_o$ 在所有时刻满足 $C_oe^{A_ot}z_o=0$ ，那么初态 $T(0,z_o)^{\mathsf T}$ 的全部输出也为零，因而属于 $\mathcal N$ ；但它的后块非零，与选基方式矛盾。

称 $(A,C)$ 可检测，若存在 $L$ 使 $A-LC$ 为 Hurwitz。它等价于 (1) 中的不可观块 $A_u$ 为 Hurwitz。事实上，写 $\widetilde L=T^{-1}L=\binom{L_u}{L_o}$ ，有

\widetilde A-\widetilde L\widetilde C =\begin{pmatrix} A_u&A_{12}-L_uC_o\\0&A_o-L_oC_o \end{pmatrix}.

必要性由不可移动的 $A_u$ 立即得到。充分性则把可控块的稳定增益构造用于转置可控对 $(A_o^{\mathsf T},C_o^{\mathsf T})$ ，取得 $L_o$ 使 $A_o-L_oC_o$ 稳定，再取 $L_u=0$ 。空块情形按同样约定处理。因此

(A,C)\text{ 可检测} \quad\Longleftrightarrow\quad (A^{\mathsf T},C^{\mathsf T})\text{ 可稳定}.

它也等价于所有不可辨初态差都随时间趋零：这类差恰在 $\mathcal N$ 中，按 $e^{A_ut}$ 演化。不可观方向可以存在，只要其自身衰减即可。特别地，可检测性排除任何满足 $Av=\lambda v$ 、 $Cv=0$ 、 $\operatorname{Re}\lambda\ge0$ 的非零复向量，因为此时 $(A-LC)v=\lambda v$ 对任意 $L$ 都成立。

例如 $A=\operatorname{diag}(0,-2)$ 、 $C=(1\ 0)$ 的第二方向不可观，但它稳定；取 $L=(1,0)^{\mathsf T}$ 即有 $A-LC=\operatorname{diag}(-1,-2)$ 。相比之下，前面的双积分器若只测速度， $e_1$ 是不可观的零特征向量，因此不可检测，任何输出注入都不能让对应误差趋零。

从辨识初态到动态估计

$(A,C)$ 可观等价于转置输入对 $(A^{\mathsf T},C^{\mathsf T})$ 可控：二者的秩矩阵互为转置。这是输入与输出角色交换的代数对偶，不表示实际执行器和传感器可以互换。

Kalman 滤波器处理带噪声状态的条件估计；可观测性提供“哪些初态差能进入数据”的结构问题。LQR使用的可检测性则允许不可观方向存在，只要求它们自身稳定；那里观察矩阵来自状态代价，未必是物理传感器 $C$ 。

基于观测器的输出反馈用 $\hat x'=A\hat x+Bu+L(y-C\hat x)$ 动态估计状态。两状态相减后误差满足 $e'=(A-LC)e$ ，因此上述可检测判据恰好保证存在指数收敛的全阶观测器；再与状态反馈连接，得到块三角的分离原理。

参考资料

Lars Grüne, Mathematical Control Theory, Winter 2020/2021，Lemmas 4.10、4.13 与 Theorem 4.14, pp. 43–45：不可观分解、可检测性和转置对偶。
Jonathan P. How、Emilio Frazzoli，MIT 16.30/31，2010，Topic 14: Estimators，14–6 至 14–10，已知输入、转置对偶与观测秩条件。
Sanjay Lall，Stanford Engr210a，2001-10-30，Lecture 9，9–14 的输出分解。本文由该分解推导有限时域核等式与初态重建；这一有限区间论证对稳定和不稳定的 $A$ 都成立。

形式陈述 ​

从不可辨方向到重建公式 ​

同一运动，两个传感器 ​

不可观分解与可检测性 ​

从辨识初态到动态估计 ​

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