连续时间线性二次调节器

极点配置先指定衰减模式，LQR 则先指定偏差与用力的价格。$Q$ 惩罚哪些状态方向，$R$ 决定各输入通道的成本；最优反馈由这两种价格和动力学共同决定。稳定只是行为约束之一，不能单凭“极点更负”判断代价更低。

代价中 $x^{\mathsf{T}}Qx=\Vert Q^{1/2}x{\Vert }^2$，因此 $Q^{1/2}$ 像一个评估性能的输出矩阵，通常与实际传感器 $C$ 不同。可检测性要求：在整个演化过程中始终不进入代价观测的模态，必须自身稳定。它排除的是不可观的不稳定模态，而一个瞬时落在 $\ker Q$ 中的方向，仍可能经动力学进入受惩罚的坐标。

例如双积分器 $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ 若只惩罚位置，即 $Q=\mathrm{diag}(1,0)$，虽有 $Q{e}_2=0$，却有 $Q^{1/2}{e}^{At}{e}_2=(t,0{)}^{\mathsf{T}}$。初速度随后变成位置偏差，因而能被代价观测；堆叠 $Q^{1/2}$ 与 $Q^{1/2}A$ 得到的观测矩阵仍有秩二。这个方向无需自行衰减，可检测性也照样成立。

固定初态后，状态是输入的仿射函数。以几乎处处相等识别局部平方可积输入，非负二次积分在这个实向量空间上定义取值于 $[0,\mathrm{\infty }]$ 的凸函数公理库凸函数Convex function函数在任意凸组合处不超过相同权重下函数值的凸组合。。优化变量是一整条输入函数，因此这里使用的是函数空间上的凸性，不能直接把整个问题当成有限维二次规划。沿轨道配平方，可以直接建立适用于这些输入的最优性证书。

一个始终保留零方向的极限 ​

取

第二状态既不可控，也不被代价观察，但它自行衰减，所以可稳定与可检测条件都满足。系统与代价按两个坐标分离，(1) 的解为

直接验证：$p(T)=\tanh T$ 满足 $p^{\prime }=1-p^2$、$p(0)=0$，其他矩阵分量恒为零。因此

无限时域最优控制为 $u=-x_1$，最优值为 $x_{1,0}^2$，与初始第二坐标无关。半正定 $P$ 并不妨碍整个闭环稳定。

图中蓝线是实际函数 $\tanh T$，虚线为极限一；红线是始终为零的第二特征值。矩阵按半正定序增加，极限仍有零方向，而对应闭环的两个极点均严格为负。

有限时域反馈为 $u(t)=-\tanh (T-t)x_1(t)$，解为

积分 ${\cosh }^{2}s+{\sinh }^{2}s=\cosh \left(2s\right)$，确得

有限时域在终点停止计费，所以 $x_1(T)=x_{1,0}/\cosh T$ 不必为零。这与固定终点的最小能量问题有不同边界条件。

双积分器的最优增益与代价 ​

取

该输入对可控，$Q^{1/2}=\mathrm{diag}(1,\sqrt{2})$ 满秩，故上述条件成立。写 $P=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ q& r\end{array}\right)$，Riccati 方程逐项成为

若 $q=-1$，则 $r=p=0$，所得矩阵不定。若 $q=1$，则 $r=\pm 2,p=r$；负号给出负定矩阵，半正定分支只能是

$P$ 的特征值为 $1,3$。闭环 $A-BK=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -2\end{array}\right)$ 的特征多项式为 $(s+1{)}^2$，虽有非平凡 Jordan 块，仍为 Hurwitz。下文的一般证明在这里适用；本例的 $Q$ 还额外正定。

当 $x_0=e_1$，解为

于是

比较极点配置增益 $K_{\mathrm{pp}}=(23)$，仍使用同一 $Q,R$。令 $A_{\mathrm{pp}}=A-B{K}_{\mathrm{pp}}$，直接相乘可验证

沿稳定闭环，$\frac{d}{dt}(x^{\mathsf{T}}Hx)=-x^{\mathsf{T}}(Q+K_{\mathrm{pp}}^{\mathsf{T}}{K}_{\mathrm{pp}})x$。积分且利用 $x(t)\to 0$，得到 $J_{\mathrm{pp}}(e_1)=e_1^{\mathsf{T}}H{e}_1=9/4>2$。因此 $-1,-2$ 两个稳定极点并没有胜过 LQR 的两个 $-1$；比较的依据是完整代价，而非谱的排序。

条件缺失时会怎样 ​

取标量 $A=B=R=1,Q=0$。系统可稳定，但成本观察完全看不见不稳定状态，故不可检测。$u=0$ 的成本为零，状态却发散。Riccati 方程 $2P-P^2=0$ 有 $P=0$ 与 $P=2$；前者给不稳定的最优控制，后者给稳定反馈却有成本 $2x_0^2$。缺少可检测性时，不能把稳定 Riccati 分支直接称作所有输入中的最优解。

另一方面，$A=-1,B=0,Q=0,R=1$ 满足可稳定与可检测条件，最优解却是 $P=0$。这说明一般定理只保证半正定，正定性需要更强条件。

有限时域：先局部求解，再以代价界延拓 ​

(1) 的右侧是矩阵元素的多项式，由Picard–Lindelöf 定理公理库Picard–Lindelöf 存在唯一性定理Picard-Lindelof theorem · Cauchy-Lipschitz theorem连续且对状态变量局部一致 Lipschitz 的向量场给出常微分方程初值问题的唯一局部解。，从零初值有唯一局部解；对称性由转置后满足同一方程及唯一性保持。在它存在的任意 $[0,h]$ 内，令

对任意 $u\in L^2([0,h])$，状态绝对连续公理库绝对连续函数Absolutely continuous function · Absolute continuity on an interval把有限组总长度很小的区间送到总振幅很小的函数类，并满足 Lebesgue 版微积分基本定理。，乘积求导和配平方几乎处处成立：

因为 ${\mathrm{\Pi }}_h(h)=0$，积分得到

连续的时变反馈 $u=-K_h(t)x$ 使平方项为零，线性方程的解存在且输入属于 $L^2$，所以确实达到右侧下界。代价非负，故 $S(h)⪰0$。这一步没有先假设最优解存在。

由可稳定性，选 $K_0$ 使 $F_0=A-B{K}_0$ 为 Hurwitz。它的无限代价矩阵

有限且半正定。把 $u=-K_{0}x$ 限制到 $[0,h]$，其有限代价不超过 $x_0^{\mathsf{T}}H{x}_0$。由 (2) 的最小性，对所有存在时长都有

因此 $S$ 始终留在一个有界闭矩阵集合中，局部 Lipschitz 常微分方程不可能在有限正时间逃逸，解可延拓到所有 $h\ge 0$。

单调有界怎样推出 CARE ​

若 $h_2\ge h_1$，任意 $[0,h_2]$ 输入的前 $h_1$ 段代价至少为该短时域的最优值，而后段代价非负。对长时域输入取下确界，得到

结合 (3)，先在整数时长上对每个二次型应用单调有界序列定理公理库单调有界序列收敛定理Monotone convergence theorem for sequences每个单调且有界的实数序列都收敛。；任意实数时长夹在相邻整数之间，由单调性得到同一极限。用 $x=e_i$ 得到对角元收敛，用

得到其余矩阵元也收敛。有限维中这给出矩阵范数极限 $S(h)\to P⪰0$。

仅有函数收敛，不能直接断言导数趋零。这里还要使用方程：多项式右侧的连续性给出

若右侧某个元素非零，对应导数最终保持同号且绝对值有正下界，该元素就不可能收敛。于是整个极限为零，$P$ 满足 CARE。

可检测性排除不稳定特征向量 ​

写 $C_Q=Q^{1/2}$、$K=R^{-1}{B}^{\mathsf{T}}P$、$F=A-BK$。CARE 等价于

若 $Fv=\lambda v$，其中 $v\ne 0$ 可以为复向量，且 $\mathrm{Re}\lambda \ge 0$，则

左侧非负、右侧非正，只能同时为零。因此 $C_{Q}v=0$ 且 $Kv=0$，进而 $Av=Fv=\lambda v$。可检测性给出某个 $L$ 使 $A-L{C}_Q$ 稳定，但它仍把 $v$ 映为 $\lambda v$，矛盾。因此 $F$ 为 Hurwitz。这个证明只用了 $P⪰0$，没有把它擅自加强为正定。

无限时域最优性与稳定解唯一性 ​

对任意局部平方可积输入，包括无限代价输入，非负积分及 (2) 给出

令 $h\to \mathrm{\infty }$，得到 $J(u;x_0)\ge x_0^{\mathsf{T}}P{x}_0$。这份下界证明无需先证明任意候选输入的状态趋零。

对所构造的反馈 $u_{\ast }=-Kx$，闭环已证明稳定，故 $x(t)$ 与 $u_{\ast }(t)$ 指数衰减。沿它积分 (4)，得到

末项趋零，故它达到下界。最优输入按几乎处处相等唯一：若两份有限代价最优输入不同，取平均时状态也取平均，$R\succ 0$ 使输入二次积分严格下降，而状态二次项凸，违反最优性。

最后，设 $P_1,P_2$ 是两个对称稳定 CARE 解，记 $D=P_1-P_2$、$F_i=A-G{P}_i$。相减整理得

所以 $e^{F_1^{\mathsf{T}}t}D{e}^{F_{2}t}$ 的导数为零，始终等于 $D$；但两指数都趋零，又迫使 $D=0$。稳定对称解因而唯一。前面的特征向量论证适用于任意半正定 CARE 解，所以在可检测假设下，所有半正定解都稳定，也就只有这一份。

三种代价与输出实现 ​

这个单元的三个数有不同含义：在一单位时间内从零到 $(1,0)$ 的最小输入能量是 $12$；无限时域从 $(1,0)$ 调节到零的 LQR 代价是 $2$；同样权重下指定极点反馈的代价是 $9/4$。初末条件、时域和目标函数都必须一起写明，数字才可比较。

基于观测器的输出反馈公理库基于观测器的输出反馈与分离原理Observer-based output feedback · Separation principle in linear control用输出创新驱动全阶观测器，在状态与估计误差坐标中证明块三角分离，复算双积分器四极点及估计暂态的额外代价。在只测位置时动态补出速度估计，并以块三角矩阵证明稳定性。未知初态下的估计暂态仍会增加成本，稳定分离不意味着保持全状态已知时的最优代价。输入有约束或系统受噪声驱动时，还需要相应的约束优化或随机控制模型。离散时间 Kalman 递推中的 Riccati 方程描述估计误差协方差，这里的连续时间方程则描述控制的最优价值；二者的对象和时间模型各有明确含义。

离散时间 LQR公理库离散时间线性二次调节器Discrete-time linear quadratic regulator · Discrete-time LQR从保持输入的精确采样出发，用有限时域配平方及稳定DARE解构造离散二次最优反馈。从区间内保持输入出发，同时精确离散化动力学与积分成本；成本通常出现状态—输入交叉项，不能只替换状态矩阵后沿用原权重。该页再从有限 Riccati 递推证明稳定 DARE 极限，并复算标量黄金比解。加入输入约束后，模型预测控制公理库模型预测控制与终端证书Model predictive control · Receding-horizon control · 滚动时域控制将受约束线性预测写成二次规划，用终端不变性和成本下降证明滚动执行的递归可行与收敛。将每次预测写成二次规划，以值 $14$ 的两步计划展示饱和成本，再用终端不变性与移位候选证明递归可行及价值下降。