CW 复形

每个新胞腔的内部没有额外拓扑，它只是一只开球；真正的信息集中在边界怎样落到旧骨架。一个附着映射可以把整个球面压到一点，也可以绕某条旧回路多次，或把边界的不同部分识别起来。几何复杂性因此被拆成“有哪些胞腔”和“它们怎样附着”两层，适合沿维数归纳。

closure-finite 保证单个胞腔的边界只牵涉有限份较低维数据。weak topology 则规定，全局拓扑由所有闭胞腔上的检测共同决定：一个集合若在每个胞腔闭包里看起来闭，就确实全局闭。两者承担不同职责。前者是组合上的有限依赖，后者是把无穷多个骨架拼成最终空间的拓扑规则；它们都不等于“每个点只有有限多个邻近胞腔”。

特征映射在圆盘内部是同胚，但在边界上通常不是单射。因此“闭胞腔”$\bar{e}$ 未必同胚于闭圆盘。CW 结构保留的是一个参数化圆盘及其边界识别，而不是要求每个胞腔闭包都像凸多面体那样嵌入空间。

对 $n\ge 1$，$S^n$ 有一个极小 CW 分解：先取一个 $0$-胞腔，再把一枚 $n$-圆盘的整个边界以常值映射附着到该点。所得商空间 $D^n/S^{n-1}$ 正是 $S^n$。这个例子也说明该 $n$-胞腔的闭包是整个球面，并不与 $D^n$ 同胚。$S^0$ 则是两个离散点，其 CW 分解只含两个 $0$-胞腔，不需要调用正维圆盘的附着描述。

环面 $T^2$ 可以从一个顶点开始，附着两枚 $1$-胞腔得到回路 $a,b$，再沿交换子

所描述的闭路附着一枚 $2$-胞腔。方形基本区域的四条边两两识别，正是这条附着映射的几何来源。胞腔数很少，却由一条边界词记录了环面的全局识别。

${\mathbb{RP}}^2$ 也可以每个维数只用一个胞腔。先把 $D^1$ 两端都附着到一个 $0$-胞腔，得到 $X^1\cong S^1$；再把 $D^2$ 的边界沿次数为 $2$ 的映射 $S^1\to S^1$ 附着。次数 $2$ 表达了圆盘边界上的对径点识别。它如何成为边界矩阵中的乘 $2$，并产生 $H_1({\mathbb{RP}}^2;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，由胞腔同调理路胞腔同调Cellular homology由 CW 骨架过滤构造以胞腔为基的链复形，并计算与奇异同调自然同构的群。负责；本页只确定附着数据。

closure-finite 不等于局部有限。把可数多个圆周在同一点楔合，每个一胞腔的闭包只碰到自身和公共顶点，仍满足 closure-finite；但公共顶点的任意邻域会遇到无穷多个胞腔。反过来，任意按维数标记的分层空间也不自动成为 CW 复形：若缺少特征映射、闭包有限性或弱拓扑，许多胞腔归纳结论可能失效。

骨架给 空间理路拓扑空间Topological space在集合上指定满足并与有限交公理的开集族，以编码邻近、连续和极限。一条按维数增长的过滤，使证明可以先在 $X^{n-1}$ 上完成，再研究附着 $n$-胞腔后的变化。胞腔逼近、胞腔映射与同伦延拓性质都建立在这种归纳结构上；许多常见流形、商空间和组合构造本身就是 CW 复形，或至少具有 CW 同伦型。

单纯复形理路单纯复形Simplicial complex · Abstract simplicial complex由对取子集封闭的有限顶点集合族编码单形及其粘合关系的组合空间。要求单形的交仍是共同面，附着方式具有更严格的组合控制；CW 复形允许一枚胞腔的边界以更灵活的方式折叠和绕行，往往能用更少胞腔描述同一空间。单纯链计算见单纯同调理路单纯同调Simplicial homology以定向单形生成链群、以交替面和定义边界，并用循环模边界得到的同调理论。，从骨架提取边界映射则见胞腔同调。有限 CW 复形中各维胞腔数的交替和给出Euler 示性数理路欧拉示性数Euler characteristic以胞腔交替计数或同调群秩交替和定义的拓扑不变量。；无限情形需要额外的有限性或收敛条件，不能无条件写一个发散的交替级数。

沿指定附着映射加一批胞腔后，哪些旧类被杀掉、哪些新循环被制造，可以由附着同调正合列理路附着胞腔怎样改变同调Homology of cell attachment · Cell attachment exact sequence从附着球面的同调类构造连接同态，区分杀掉低维类、制造高维类和留下挠，并保留新循环的链代表。直接追踪。它不会把“每加一胞腔”简化成固定增加或减少一个洞。胞腔逼近定理理路胞腔逼近定理Cellular approximation theorem · 胞腔映射在保持指定子复形不动的条件下，把连续映射同伦为保持骨架的映射，并说明高维胞腔如何逐个被避开。进一步证明任意连续映射都能在保持指定子复形不动的条件下变成保持骨架的映射。