Maschke 定理

有限维空间中的子空间 $W$ 总有线性补。若还希望这个补在群作用下保持不变，可以先取任意一个到 $W$ 的线性投影 $P:V\to W$，再沿群作用公理库群作用Group action群元素以保持单位元与乘法的方式作用于集合。平均：

每一项的像都在 $W$ 中，而且在 $W$ 上都等于恒等映射。因此 $\bar{P}(V)\subseteq W$，且 $\bar{P}{|}_W=I_W$，说明平均后仍是到 $W$ 的投影。

对固定 $h\in G$，共轭 $\rho (h)\bar{P}\rho (h{)}^{-1}$ 只是把求和指标 $g$ 换成 $hg$，所以结果仍为 $\bar{P}$。于是 $\bar{P}$ 与群作用交换，核也在群作用下不变。所求补空间就是投影的核公理库线性映射的核与像Kernel and image · Null space and range分别记录被线性映射压到零的方向与实际能够到达的向量集合。 $U=\ker \bar{P}$。

这项构造把任意投影变成与群作用交换的投影。群的有限性保证使用有限和，$|G|$ 在 $F$ 中可逆则保证平均保留 $P{|}_W=I_W$。

取 $G=S_3$ 以置换坐标的方式作用在 ${\mathbb{C}}^3$ 上，令 $W=\mathrm{span}\{(1,1,1)\}$。从投影 $P(x)=x_1(1,1,1)$ 出发，六次共轭分别读取不同坐标，每个坐标被读取两次，所以

其核 $U=\{x:x_1+x_2+x_3=0\}$ 就是不变补，称为二维标准表示。它的特征标为 $(2,0,-1)$，加权自内积为 $1$，因此不可约，具体计算见S3 特征标表的计算公理库S3 特征标表的计算Character table of S3 · S₃ character table从三点置换表示构造 S3 的完整复特征标表，以加权正交检验不可约性并分解正则表示。。这样便得到 ${\mathbb{C}}^3\cong W\oplus U$。

在特征 $p$ 下，取 $G=C_p=⟨g⟩$，令 $\rho (g)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$。由 $\rho (g{)}^p=\left(\begin{array}{cc}1& p\\ 0& 1\end{array}\right)=I$，这给出 ${\mathbb{F}}_p$ 上的表示。它唯一的特征值为 $1$，特征向量都是 $e_1$ 的倍数，所以 $\mathrm{span}\{e_1\}$ 是唯一不变直线，无法找到不变补。这个二维表示可约而不可分解。

对任意满足 $p=\mathrm{char}F\mid |G|$ 的有限群，还可直接证明群代数不半单。在正则表示 $F[G]$ 上取系数和映射 $\epsilon (\sum _g{a}_{g}g)=\sum _g{a}_g$，目标 $F$ 带平凡作用。若其核有不变补，就有等变截面，将 $1$ 送到一个 $G$-不动向量 $v$ 且 $\epsilon (v)=1$。但左平移迫使不动向量的所有系数相同，所以 $v=c\sum _{g}g$，进而 $\epsilon (v)=c|G|=0$，矛盾。这证明非整除条件的必要性，不只展示 $C_p$ 的一个特例。

无限群 $\mathbb{Z}$ 在 ${\mathbb{C}}^2$ 上也可让生成元 $1$ 作用为同一个上三角矩阵。尽管基域为复数，它仍只有一条不变直线。这说明有限群的结论依赖于群本身；连续紧群表示的平均版本将在下文说明。

基域还决定不可约块的形状。$C_3$ 的生成元在 ${\mathbb{R}}^2$ 上作用为 ${120}^{\circ }$ 旋转时，没有不变实直线，所以表示不可约。扩到 $\mathbb{C}$ 后，旋转矩阵的特征值为 $e^{2\pi i/3}$ 与 $e^{-2\pi i/3}$，对应的两条特征直线都是不变子空间。两种基域下均满足 Maschke 定理，但不可约分解不同。

在非整除条件下，每个有限维表示都分解为不可约表示的直和，研究任务因而分为确定不可约类型和计算重数。对复表示，特征标公理库有限群表示的特征标Character of a finite-group representation · Representation character · 群表示的特征标有限维复表示的特征标把每个群元素映到其作用算子的迹，并以类函数的形式记录不可约分解信息。把直和转为函数加法，正交关系公理库特征标正交关系Character orthogonality · Orthogonality of characters · 特征标正交定理有限群的不可约复特征标构成类函数空间的正交规范基，其内积直接给出表示分解的重数。再用内积求出各成分的重数。

这个分解也体现在群代数中。半单模的补模刻画公理库半单模Semisimple module · Completely reducible module用R-线性投影和有限增大过程证明半单模的补模刻画，比较矩阵列分解与双数环的不分裂理想。把这里的完全可约性放进一般模论；Artin–Wedderburn 定理公理库Artin–Wedderburn 结构定理Artin–Wedderburn theorem · Wedderburn–Artin theorem由正则模的端同态环证明矩阵除代数分块，并显式构造实群代数R[C3]与R×C的同构。再把半单的 $F[G]$ 写成有限个除环上的矩阵代数的直积。若 $F$ 代数闭，各除环都等于 $F$；在实数上，$\mathbb{R}[C_3]\cong \mathbb{R}\times \mathbb{C}$ 的显式构造说明为何不能省去除代数因子。不同矩阵块对应不同不可约表示，块内矩阵运算描述该成分上的线性作用。

对复表示还可以平均任意正定内积公理库内积空间Inner product space带正定对称双线性形式或正定 Hermitian 半双线性形式的向量空间。：

这个内积正定且在群作用下不变，因此表示可以选成酉矩阵。不变子空间的正交补随之不变，给出 Maschke 定理的另一种构造。

有限群平均依赖对所有群元素作有限求和。对紧的第二可数 Hausdorff 拓扑群，可在Haar 测度公理库Haar 测度Haar measure局部紧群存在唯一到正倍数的平移不变测度；计算乘法群与仿射群的密度，区分左、右不变性。条目的范围内用归一化积分代替求和：有限维连续复表示的矩阵系数连续，平均内积仍正定且被群保持，因此表示可以酉化。非紧群的平均可能发散，因此紧性承担了有限求和以外的新条件。