群表示

表示论把抽象对称性翻译成线性变换。群本身可能只由生成元与关系给出，而矩阵世界拥有特征值、迹、行列式、正交分解和谱理论。只要 $\rho (gh)=\rho (g)\rho (h)$，群中的乘法关系就会原样进入矩阵计算。

一个表示保留了群在特定空间上的作用。核中的元素全部作用为恒等，所以实际出现的变换群同构于商群公理库商群Quotient group将正规子群压成单位元后，在其陪集商集上诱导出的群。 $G/\ker \rho$；核平凡时，这些变换完整地区分了原群元素。研究表示时，还可以寻找在所有变换下保持不变的子空间。有限群的复表示能够沿这些子空间分解成不可约部分，矩阵计算也相应拆成较小的块。

构造表示时，单位元和乘法关系决定了逆变换：$\rho (g)\rho (g^{-1})=\rho (e)=I$。若群由生成元与关系公理库群的呈示Group presentation用生成元集合和关系集合给出群的商结构描述。给出，可以先为生成元选择可逆矩阵，再验证这些矩阵满足全部定义关系。随后按词相乘，就得到整个群的表示。

一维表示与循环群 ​

每个群都有一维平凡表示 $\rho (g)=1$。只要向量空间非零，一维表示自动不可约；但对非平凡群，平凡表示并不忠实。这个例子已经说明不可约不蕴含忠实。

设整数 $n\ge 1$。对循环群 $C_n=⟨a⟩$，复数域上的一维表示由 $a$ 的像决定。群关系 $a^n=e$ 要求

所以 $\rho (a)$ 必须是 $n$ 次单位根。由此得到 $n$ 个互不同构的一维复表示

置换表示与分解 ​

若 $G$ 作用于有限集合 $X$，在以 $\{e_x:x\in X\}$ 为基的向量空间上定义

便得到置换表示。当 $X\ne \varnothing$ 时，向量 $\sum _{x\in X}{e}_x$ 非零且被所有群元素固定，因此张成一维平凡子表示。

群本身还给出一个天然的正则表示。在以 $\{e_h:h\in G\}$ 为基的向量空间上，定义

不同群元素把基向量 $e_e$ 送到不同位置，因此正则表示总是忠实。它的维数是 $|G|$。当 $G$ 有限且非平凡时，$\sum _{h\in G}{e}_h$ 张成一个非零真不变子空间，所以正则表示可约。在复数域上，特征标正交关系公理库特征标正交关系Character orthogonality · Orthogonality of characters · 特征标正交定理有限群的不可约复特征标构成类函数空间的正交规范基，其内积直接给出表示分解的重数。进一步给出：每个不可约表示在正则表示中的重数恰好等于其维数。

最小的分解例子来自 $C_2=\{1,g\}$ 在 ${\mathbb{C}}^2$ 上交换两个基向量：

向量 $e_1+e_2$ 被固定，$e_1-e_2$ 被变号。因此

它分解为平凡表示与符号表示。该表示忠实却可约，正好与前面的平凡表示形成反向对照。

域特征造成的边界 ​

分解性质依赖基域。设 $p$ 为素数，在 ${\mathbb{F}}_p$ 上令 $C_p=⟨a⟩$ 作用为

因为

所以 $\rho (a{)}^p=I$，这定义了 $C_p$ 的二维表示。直线 $⟨e_1⟩$ 不变，表示因而可约。若另一条直线不变，其生成向量就是 $\rho (a)$ 的特征向量；但唯一特征值为 $1$，方程 $(\rho (a)-I)v=0$ 又迫使 $v$ 是 $e_1$ 的倍数。因此没有不变补空间，这个表示不可分解。Maschke 定理公理库Maschke 定理Maschke's theorem当域特征不整除有限群阶时，每个有限维表示都完全可约。中的非整除条件，正是保证不变子空间总有不变补的条件。

子群也提供构造表示的入口。若只让 $H\le G$ 中的元素作用，空间 $V$ 不变，得到限制表示 ${\mathrm{Res}}_H^{G}V$；这与前面把空间缩到不变子空间是两种不同操作。在有限群的有限维复表示情形，反向的诱导表示公理库诱导表示Induced representation用右陪集上的等变函数把子群表示构造成整个有限群的表示，并从坐标作用推导维数与特征标公式。从 $H$ 表示 $W$ 构造维数为 $[G:H]\dim W$ 的 $G$ 表示。Frobenius 互反定理公理库Frobenius 互反定理Frobenius reciprocity · 弗罗贝尼乌斯互反定理以单位元处评价建立诱导与限制的交织空间同构，将大群诱导表示的不可约重数化为子群内积。进一步把诱导表示的不可约重数计算转到子群上。

当 $G$ 有限且 $\mathrm{char}F\nmid |G|$ 时，Maschke 定理保证每个有限维表示完全可约。研究任务随之分成两步：分类不可约表示，并计算它们在给定表示中出现的重数。若特征整除群阶，这种分解可能失败，扩张与不可分解表示便成为新的核心对象。

对于有限群的有限维复表示，特征标公理库有限群表示的特征标Character of a finite-group representation · Representation character · 群表示的特征标有限维复表示的特征标把每个群元素映到其作用算子的迹，并以类函数的形式记录不可约分解信息。把表示压缩为函数

在这一范围内，整个特征标函数足以识别表示的同构类型，并通过正交关系计算不可约重数。S3 特征标表的计算公理库S3 特征标表的计算Character table of S3 · S₃ character table从三点置换表示构造 S3 的完整复特征标表，以加权正交检验不可约性并分解正则表示。从三点置换出发构造完整的表，再读出正则表示的分解。有限阿贝尔群的不可约复表示全是一维特征标，对群上函数按特征标展开正是有限 Fourier 分析。

几何中的群作用也能产生线性表示。若 $G$ 作用在集合 $X$ 上，可令它作用在复值函数空间上：$(\rho (g)f)(x)=f(g^{-1}x)$。这个变换保持函数的加法和数乘，且 $\rho (g)\rho (h)=\rho (gh)$。当 $X$ 有限时，它就是置换表示的函数形式；把函数按不可约成分展开，便能按群的对称性分析数据。

Lie 代数表示公理库Lie 代数表示李代数表示 · Lie algebra representation将 Lie 括号实现为线性算子的交换子，并在齐次多项式空间上构造 sl₂ 的对称幂表示，用谱投影与升降算子证明其不可约性。要求线性作用保持括号，作用算子不必可逆。对光滑 Lie 群的有限维光滑表示，在单位元处求导可得到 Lie 代数表示。有限群赋予离散拓扑后是零维 Lie 群，其有限维实或复表示都是光滑的，但微分只得到零 Lie 代数在表示空间上的零作用，无法据此恢复原来的有限群作用。

连续参数的对称适合放入 Lie 群公理库Lie 群Lie group · 李群群的乘法与求逆同时光滑；通过圆群、一般线性群与旋转群检验连续对称的流形结构。框架：群乘法和求逆光滑，表示也可要求随群变量光滑。圆上的旋转表示与 $\mathrm{SO}(3)$ 的矩阵模型提供了具体起点，再在单位元处微分，才进入前述 Lie 代数表示。