Doob 最大不等式

终点可能回到零，所以逐条路径比较“历史最高点”与“终点”不可能成立。鞅结构提供的是条件平均上的补偿：在首次越过阈值的那一刻，未来终值的条件平均至少等于当时的水平。把不同首次越界时刻分开，便能把历史越界事件全部记到终点的期望账上。

首次越界证明 ​

令 $\tau =inf\{k\le N:X_k\ge \lambda \}$，没有越界时取 $\mathrm{\infty }$。这是一个停时理路停时Stopping time · 停止时刻是否已经发生可由当前信息判断、因而不依赖未来的随机时刻。，事件 $A_k=\{\tau =k\}$ 属于 ${\mathcal{F}}_k$。下鞅性质于是给出

对互不相交的 $A_k$ 求和就是尾概率界。证明只使用有限时间条件期望，不需要无界停时版本的可选停止。

再令 $Y=\underset{k\le N}{max}|M_k|$。将尾概率界乘以 $p{\lambda }^{p-2}$ 后积分，用 Tonelli 定理理路Tonelli 定理Tonelli's theorem非负可测函数的二重积分与两种迭代积分相等，允许共同取无穷。交换非负积分得到

Hölder 不等式理路Hölder 不等式Hölder's inequality共轭指数下函数乘积的 L¹ 范数由各自的 Lᵖ 范数乘积控制。把末项界为 $\frac{p}{p-1}\Vert M_N{\Vert }_p\Vert Y{\Vert }_p^{p-1}$，约去因子便得结论。这里有限个 $M_k$ 均在 $L^p$ 中，且 $Y^p\le \sum _{k=0}^N|M_k{|}^p$，所以约去有限范数是合法的；范数为零时结论直接成立。

两步游走：路径最大值确实更大 ​

令 $S_0=0$，两次独立公平的 $\pm 1$ 增量生成游走。四条等概率路径为

| 增量 | $(S_0,S_1,S_2)$ | $S_2^2$ | $\underset{k\le 2}{max}|S_k{|}^2$ | | --- | --- | ---: | ---: | | $++$ | $(0,1,2)$ | $4$ | $4$ | | $+-$ | $(0,1,0)$ | $0$ | $1$ | | $-+$ | $(0,-1,0)$ | $0$ | $1$ | | $--$ | $(0,-1,-2)$ | $4$ | $4$ |

于是 $\mathbb{E}{S}_2^2=2$，而最大值的二阶矩为 $10/4=2.5$。Doob 的 $p=2$ 界给出 $2.5\le 4\cdot 2=8$。这个小例子不追求取到最优常数；它说明终点归零的路径仍必须计入最大值。

为什么不能令 p 等于一 ​

令 $M_n=2^n{\mathbf{1}}_{\{\text{前 }n\text{ 次抛硬币均为正面}\}}$，$M_0=1$。这是非负鞅，$\mathbb{E}{M}_N=1$。若首次反面出现在第 $k+1$ 次，$0\le k<N$，则 $\underset{n\le N}{max}{M}_n=2^k$，该事件概率为 $2^{-k-1}$；前 $N$ 次全为正面的剩余事件贡献为 $2^N{2}^{-N}=1$。所以

不存在独立于 $N$ 的常数 $C$ 使 $\mathbb{E}max{M}_n\le C\mathbb{E}{M}_N$。$p=1$ 时仍保留尾概率界，失效的是这种强 $L^1$ 范数控制。

Ville 不等式理路Ville 不等式Ville's inequality · Ville inequality非负上鞅在无限时间内达到给定水平的概率，由初始期望除以该水平控制。以非负上鞅的初始期望控制无限期越界概率；这里则以非负下鞅的终点期望控制有限区间最大值。非负鞅可同时使用两者，但上鞅与下鞅的方向及预算位置不能互换。

最大不等式把终点误差转为一整段轨迹的误差。例如鞅差分近似若满足 $\mathbb{E}|M_N-{\tilde{M}}_N{|}^2\le {\epsilon }^2$，且两过程相对于同一滤过都是鞅，则先对差过程用 $L^2$ 最大不等式，再对最大误差的平方用Markov 不等式理路Markov 不等式Markov's inequality非负随机变量超过阈值的概率由其期望除以阈值控制。，得到

它也解释高阶矩有界如何产生稳定极限：$p>1$ 的统一矩界保证一致可积性理路一致可积性Uniform integrability · Uniformly integrable family一族可积随机变量在统一截断水平之外的绝对期望可以一致地趋于零。，再与鞅的 L¹ 收敛定理理路鞅的 L¹ 收敛定理L1 martingale convergence theorem · Uniformly integrable martingale convergence · Closed martingale离散鞅一致可积当且仅当它在 L¹ 中收敛，也当且仅当它由一个可积随机变量的条件期望闭合。配合。将有限时间结果推广到连续时间鞅理路连续时间鞅Continuous-time martingale在连续时间滤过下适应且逐时可积，并满足任意早晚时刻条件均值恒等式的过程。时，可先在有限有理时间网格上应用不等式，再借 càdlàg 路径处理网格极限。

自测。 已知 $\mathbb{E}|M_N{|}^2=0.01$，以 $L^2$ 最大不等式估计越过 $0.5$ 的概率。答案为至多 $4\cdot 0.01/{0.5}^2=0.16$；这只是上界，不能据此断言真实概率等于 $0.16$。