Fourier 变换

Fourier 变换询问一个函数与每个纯频率 $e^{2\pi ix\cdot \xi }$ 的相关程度。非周期空间没有整数频率格，频率参数因此连续。平移在频域只改变相位，微分成为乘法，卷积也成为逐点乘法；这正是频域能把许多全局相互作用“对角化”的原因。

频谱包含幅度与复数理路复数Complex number形如 a+bi 的数，按坐标规则构成实数域的二次扩张。相位。平移函数只改变相位，因此相位记录着位置关系；逆变换将各频率按这些相位重新叠加，恢复原函数。保留幅度而丢弃相位，会把某些位置不同的函数视为同一份数据。

在本页约定下，Gaussian $f(x)=e^{-\pi |x{|}^2}$ 满足 $\hat{f}(\xi )=e^{-\pi |\xi {|}^2}$。它展示空间扩散与频率集中之间的平衡，也说明某些函数族在变换下保持形状。

取 $f={\mathbf{1}}_{[-1/2,1/2]}$，直接积分得到

$f$ 可积，变换却因 $1/|\xi |$ 量级的振荡尾部而不绝对可积。这说明 $f\in L^1$ 与逆积分绝对收敛是两个不同条件。

常数函数和纯指数可通过缓增分布理论变换为频域点质量。有限序列上的 DFT 则使用有限个离散频率，索引按周期延拓，因而把循环卷积变成逐点乘法。

上述连续卷积定理使滤波、概率独立和与线性平移不变系统在频域中化为乘法。偏微分方程中，空间导数变成多项式乘子，方程可按频率求解；概率论中的特征函数则是采用另一符号约定的概率测度 Fourier 变换。 对正半轴上的乘法尺度，Mellin变换理路Mellin 变换：收敛带与乘法尺度Mellin transform · 梅林变换用幂权测量正半轴上的尺度，确定绝对收敛条带，通过对数坐标归结到Fourier逆变换，并给出一条可认证的逆积分截断。先令 $x=e^u$，把缩放转为平移，再对加权函数使用本页的Fourier逆变换；权重允许的区间决定其复参数收敛带。

Fourier 乘子理路Fourier 乘子与平方可积估计Fourier multiplier · L2 Fourier multiplier把频域逐点乘法搬回函数空间，证明L2乘子范数恰为符号的本质上确界，并用一个有界逆乘子构造二阶弱解。把这里的“频域乘法”变成一个精确的 $L^2$ 算子接口：本质有界符号的算子范数恰好等于符号的本质上确界；微分的无界符号则需要限制输入空间。以 $(1+4{\pi }^2|\xi {|}^2{)}^{-1}$ 为符号，可以构造 $(1-\mathrm{\Delta })u=f$ 的唯一平方可积二阶弱解。

Fourier 级数理路Fourier 级数Fourier series · 傅里叶级数把周期函数投影到整数频率的正交指数基上所得的离散频谱展开。处理周期函数的离散频谱，Plancherel 定理理路Plancherel 定理Plancherel theoremFourier 变换从稠密子空间唯一延拓为 L² 上保持内积与范数的酉算子。描述连续频域中的能量保持。FFT理路快速 Fourier 变换Fast Fourier transform · FFT利用单位根的偶奇分解在 $O(n\log n)$ 时间计算离散 Fourier 变换。高效计算有限 DFT；用于近似连续变换时，采样步长、窗口长度与频率截断决定离散结果如何对应原函数。

Poisson求和公式理路Poisson求和公式与采样尺度Poisson summation formula · 泊松求和公式由连续函数的周期化严格连接空间格点求和与频率格点求和，保留步长、平移相位和绝对收敛条件，并用Gaussian转换尺度。把其中一项对应关系写成精确恒等式：步长 $h$ 的连续函数周期化，其Fourier系数是 $\hat{f}(m/h)/h$。平移网格仍保留复相位；连续代表与两侧绝对收敛条件必须核实，因为只改一个格点值不会改变积分变换，却会改变采样和。Gaussian由此可以在慢空间尺度和快频率尺度之间转换，并给完整双边尾证书。

若已知L2频谱只落在有限频带，逆积分先选出连续代表，Whittaker–Shannon采样定理理路Whittaker–Shannon采样定理Whittaker-Shannon sampling theorem · Nyquist-Shannon sampling theorem · 带限采样定理 · Shannon sampling theorem从有限频带的正交展开恢复整实线函数，核清采样步长、连续代表、能量等式和一致误差，并区分平方可和噪声与逐样本有界噪声。再由其全部格点值恢复整条函数。临界步长、采样能量和一致尾误差各有精确尺度；低于要求的采样速率则存在真正平方可积的零样本非零函数。这个输入合同不同于有限DFT图像，也不强加时间函数绝对可积。

二维图像的直线投影还提供另一种频谱信息：Radon切片定理理路Radon变换与Fourier切片Radon transform · Fourier slice theorem · Central slice theorem · 拉东变换 · 投影切片定理用有符号距离与法向角记录直线积分，证明一维投影频谱等于二维频谱的径向切片，并区分全角唯一性与有限角度的不可辨认函数。把每个投影的一维变换识别为二维频谱的一条径向线。全角连续数据可唯一确定快速衰减图像，有限角度却有显式非零零数据函数；其区别来自测到哪些频率方向，而不只是沿一条信号的采样间距。