杯积

上同调群只记录每个维度有多少类，杯积还记录不同类怎样相互作用。链对角近似把一个单形分成前后两部分，让一个 $p$-上链与一个 $q$-上链组合成 $p+q$-上链；在上同调层面，依赖的链级选择消失。乘法通常只分次交换，即交换两个齐次类会出现 $(-1{)}^{pq}$ 符号。

环面 $T^2$ 有两个一维生成元 $a,b$，其杯积 $a⌣b$ 生成 $H^2(T^2;\mathbb{Z})$。空间 $S^2\vee S^1\vee S^1$ 与环面具有相同的整数同调群，但前者任意两个正次数上同调类的杯积都为零，因此杯积能区分加法同调完全相同的空间。分次交换通常只在上同调类上成立，所选奇异上链模型的杯积在链层面不必严格交换。若 $p=q$ 为奇数，则 $2{\alpha }^2=0$；当 $2$ 在系数环中可逆时立即推出 ${\alpha }^2=0$，而整数系数下平方仍可能是非零的 $2$-挠元。

在 $S^2\times S^2$ 上，令 $a,b\in H^2(S^2\times S^2;\mathbb{Z})$ 分别由两个投影拉回球面的生成元。因为单个 $S^2$ 没有四维上同调，$a^2=b^2=0$；但

生成 $H^4(S^2\times S^2;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$。加法群只记录有两个二维生成元，杯积进一步记录它们如何共同产生顶维基本类。

上同调理路上同调Cohomology对链复形取到系数群的同态形成上链复形，再取上同调得到反变不变量。通过杯积成为分次环，分次符号与外代数理路外代数Exterior algebra把张量代数按 v⊗v=0 的关系取商所得的分次代数。的楔积相似，但一般上同调环不是外代数；奇次平方可能保留前述非零 $2$-挠信息。同伦等价理路同伦等价Homotopy equivalence存在互为同伦逆的连续映射时，两个空间具有相同的同伦类型。保持该环结构，因此它比 Betti 数更强；在流形中，杯积与 Poincaré 对偶配对，特征类和交叉理论也以这种乘法为语言。

射影丛上同调理路射影丛的上同调定理Projective bundle theorem · Cohomology of a projective bundle由复线分类先构造射影丛的二次类，再证明Leray–Hirsch自由模基和唯一首一关系，避免Chern构造循环。用 $1,u,\dots ,u^{r-1}$ 先构造自由模基，再用唯一的 $u^r$ 关系定义高阶类。分裂原理理路特征类的分裂原理Splitting principle逐次射影化构造忠实的分裂空间，证明一般Whitney公式，并用秩二张量算例解释Chern根的合法用途。沿旗丛反复使用这项自由模结构，保证拉回单射，因而可在分裂后验证杯积公式而不丢掉原来的类。

Poincaré 对偶与 cap 积理路Poincaré 对偶与 cap 积Poincare duality · Poincaré duality · Cap product · 庞加莱对偶 · cap 积在有限定向组合闭流形上构造带符号的对偶胞腔，用末顶点映射证明所得同构就是与基本类的cap积，并在环面上算出整数交配矩阵。给出与本页前面／后面约定一致的恒等式 $\psi (z⌢\phi )=(\phi ⌣\psi )(z)$。该页在环面的真实三角剖分上逐项算出杯积配对矩阵 $(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array})$，再由评价推出 $D\alpha =b$、$D\beta =-a$；其中 ${\alpha }^2$ 在部分三角形上非零，却在基本循环上相消，展示链级表达式与上同调类的区别。