特征值与特征向量

特征向量张成一条被算子保持的一维子空间：$T(av)=a\lambda v$ 仍在同一条线上。在实数情形，正特征值表示同向缩放，负特征值还会反向，零特征值则把整条线压到原点。非零复特征值的模给出缩放量，辐角给出复系数的相位变化。

沿特征向量反复作用时，$T^{k}v={\lambda }^{k}v$。若有足够多的独立特征向量组成基，就能先把任意输入分解到这些方向，再分别计算标量幂，最后把各分量相加。

用特征方向计算迭代 ​

对角矩阵 $\mathrm{diag}(2,3)$ 沿两条坐标轴分别缩放 $2,3$ 倍，标准基直接给出特征向量。在实数域上，对称矩阵

满足 $A(1,1{)}^{\mathsf{T}}=3(1,1{)}^{\mathsf{T}}$、$A(1,-1{)}^{\mathsf{T}}=(1,-1{)}^{\mathsf{T}}$。两个特征向量正交并构成一组基。具体地，

所以

和方向上的分量以 $3^n$ 增长，差方向上的分量保持不变。

特征空间的大小与底域 ​

剪切矩阵 $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ 只有特征值 $1$。方程 $(A-I)(x,y{)}^{\mathsf{T}}=0$ 化为 $y=0$，所以特征空间只有横轴这一维，无法凑成平面的一组基。

实平面 ${90}^{\circ }$ 旋转没有实特征向量：非零向量旋转后与原向量垂直。在复数域上，特征多项式 $t^2+1$ 有根 $i,-i$，于是出现两个复特征方向。

特征向量的任意非零标量倍仍是同一特征值的特征向量。因此算法可以按长度等约定选择代表，而特征空间把全部选择组织在一起。定义中的 $T:V\to V$ 保证 $Tv$ 与 $\lambda v$ 落在同一个空间；对一般 $V\to W$ 的映射，则使用核、像或奇异值等结构。

有限维算子的特征值由特征多项式公理库特征多项式Characteristic polynomial由 det(λI−T) 定义并编码线性算子特征值的多项式。刻画，特征空间是不变子空间公理库不变子空间Invariant subspace在线性算子作用下保持封闭、可被单独限制研究的子空间。，二者为对角化公理库对角化Diagonalization在线性算子存在由特征向量构成的基时把其矩阵化为对角形。与谱定理提供基本块。当特征多项式在底域上分裂时，广义特征向量可以扩充为一组基，形成 Jordan 结构。

浮点计算可直接利用迭代作用：在主特征值的模严格领先、初始向量含有相应分量等收敛条件下，幂法公理库幂迭代Power method · Power iteration反复应用矩阵并归一化，以谱隙筛出唯一主模特征方向，同时用残差判断所得特征对。通过反复乘矩阵并归一化，提取主特征方向。一般稠密矩阵的全部特征值则常通过QR 特征值算法公理库QR 特征值算法QR algorithm · Shifted QR algorithm · Francis QR algorithm先化 Hessenberg 或三对角形，再用隐式移位 QR、bulge chasing 与 deflation 计算 Schur 形和全部特征值。和Schur 分解公理库Schur 分解Schur decomposition · Schur triangularization · Real Schur form用酉或正交相似变换把一般矩阵化为上三角或实准上三角形，作为浮点全谱计算的稳定结构目标。计算。

特征结构还揭示迭代动力学、微分方程稳定性和 Markov 链长期行为；图 Laplacian公理库图 LaplacianGraph Laplacian · Laplacian matrix用度矩阵减邻接矩阵得到的算子，以二次型衡量相邻顶点取值的不一致。的零特征空间与低端谱把这些工具带入图连通和割结构。