短正合列

短正合列把 $B$ 描述为 $C$ 被 $A$ 扩张的结果。在模的例子中，每个 $c\in C$ 都有原像；选定其中一个原像后，其余原像恰好相差 $i(A)$ 中的元素。因此每个商元素都对应 $B$ 中的一整类元素，而 $A$ 控制同一类内部的差异。

分裂要求能为所有 $c$ 同时选取原像，并让这种选择保持模运算。这样的截面给出 $C$ 在 $B$ 中的一份副本，与 $i(A)$ 一起构成直和。固定 $A,C$ 后，不同的扩张未必都能这样拆开；${\mathrm{Ext}}^1$ 分类的正是这些扩张的等价类。

对 $n>1$，整数模给出短正合列

乘 $n$ 单射，$q$ 满射，且 $\ker q=n\mathbb{Z}$ 恰为前一映射的像。它不分裂：若有群同态截面 $s$，则 $s([1])$ 应满足 $ns([1])=s([n])=0$；但 $\mathbb{Z}$ 无非零 $n$-挠元，同时 $q(s([1]))=[1]$ 又迫使它非零。

与此相对，向量空间的每个短正合列都分裂。选取 $i(A)$ 的一组基理路向量空间的基Basis of a vector space同时线性无关并张成整个向量空间的向量组。并扩充为 $B$ 的基，新增基向量张成补空间 $W$。限制映射 $p{|}_W:W\to C$ 是同构，将它的逆与包含 $W\hookrightarrow B$ 复合，就得到截面。

可以分别检查端点与中间位置。例如

中，从中间 $\mathbb{Z}$ 到右侧 $\mathbb{Z}$ 的零映射并非满射，且它的核是整个 $\mathbb{Z}$，大于前一映射的像 $2\mathbb{Z}$。因此这条列在两个位置失去正合性，虽然相邻复合仍为零。

端点也不能单独决定中间对象。$0\to \mathbb{Z}/2\to \mathbb{Z}/4\to \mathbb{Z}/2\to 0$ 中，嵌入把 $[1{]}_2$ 送到 $[2{]}_4$，投影按模 $2$ 取值；这条列不分裂，因为 $[1{]}_2$ 的两个原像 $[1{]}_4,[3{]}_4$ 都有阶 $4$。而用 $\mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/2$ 作中间项、配上自然嵌入与投影，就得到相同端点间的分裂扩张。

若链映射 $A_{\bullet }\to B_{\bullet }\to C_{\bullet }$ 在每个次数组成短正合列，就会诱导同调长正合列。将 $C$ 中的循环提升到 $B$ 后，它的边界来自 $A$；这一步给出降低一次数的连接态射，其良定义性与正合性由蛇引理建立。

投射模 $P$ 的特征之一是每个以 $P$ 为商的短正合列分裂；内射模 $I$ 对偶地使每个以 $I$ 为子模的短正合列分裂。

短正合列也用来检验函子的正合性。对于有足够多内射对象的 Abel 范畴，左正合协变加性函子保留左端的单射与中间的核像关系，右端失去的满射性则由右导出函子的连接态射记录。