依分布收敛

这种收敛只看概率质量怎样重新排布，不要求在同一实验中逐点比较 $X_n$ 与 $X$。从测试函数角度看，它要求所有有界连续观察量的期望趋于相应极限，因此只保留分布层面的可观测信息。极限分布的跳点之所以被排除在 CDF 点态条件之外，是因为微小质量移动可以跨过跳点而不代表弱极限失败。

取独立的公平 Bernoulli 变量 $X,Y$，并令每个 $X_n=Y$。所有 $X_n$ 与 $X$ 的分布完全相同，因此依分布收敛；但

所以它们不依概率收敛到 $X$。同一分布可以在共同实验中对应不同的结果。

若 $X_n\sim N(0,1+1/n)$，其分布函数为 $\mathrm{\Phi }(x/\sqrt{1+1/n})$，逐点趋于标准正态分布公理库正态分布Normal distribution · Gaussian distribution · 高斯分布具有指数平方密度、在仿射变换与独立求和下封闭的概率分布族。函数 $\mathrm{\Phi }(x)$。这个计算使用每个变量各自的分布，因而也适用于定义在不同概率空间上的 $X_n$。

分布趋近时，少量质量仍可移向很远的地方。例如令 $X_n$ 以概率 $1/n$ 取值 $n$，其余时候取零。则 $X_n\stackrel{d}{\to }0$，但 $E[X_n]=1$ 始终不变。尾部的概率越来越小，数值却越来越大，均值保留了这部分贡献；一致可积性正是对这种尾部贡献的控制。

分布函数公理库分布函数Cumulative distribution function · CDF实值分布在每个阈值左侧累积的概率，是非降右连续且端点极限为零和一的函数。把随机变量的极限问题转成一列实数的收敛公理库序列收敛Convergence of a sequence序列项最终任意接近某个极限值。问题。中心极限定理公理库中心极限定理Central limit theorem适当归一化的独立随机变量和在分布上趋于正态分布。用这种方式描述标准化和的正态极限；依概率收敛公理库依概率收敛Convergence in probability随机变量偏离极限超过任意正阈值的概率趋于零。则进一步控制同一实验中变量之间的距离，并蕴含依分布收敛。

估计量的渐近正态性公理库估计量的渐近正态性Asymptotic normality of estimators估计误差在明确中心、速率与协方差下趋于正态律，以及线性化、标准化和边界失效机制。常写成 $\sqrt{n}({\hat{\theta }}_n-\theta )\stackrel{d}{\to }N(0,{\sigma }^2)$。它描述中心化、缩放后的误差分布，进而给出大样本置信区间。Slutsky 定理公理库Slutsky 定理Slutsky's theorem依分布收敛随机量与依概率收敛常量组合时，和、积与合法商保持相应分布极限。允许用依概率收敛的尺度估计替换未知 $\sigma$。

Portmanteau 定理公理库Portmanteau 定理Portmanteau theorem · Portmanteau lemma · 移植定理把概率测度的弱收敛等价改写为开闭集不等式、半连续函数不等式与连续集上的测度收敛。说明一维 CDF 条件如何接上一般的测度弱收敛公理库测度的弱收敛Weak convergence of measures · Weak convergence of probability measures以所有有界连续测试函数的积分收敛来定义有限 Borel 测度的拓扑收敛。：事件 $(-\mathrm{\infty },x]$ 的边界是 $\{x\}$，所以极限分布在 $x$ 无原子时，事件概率必然收敛。例如 ${\mu }_n=\frac{1}{2}{\delta }_{1/n}+\frac{1}{2}\mathrm{Unif}[1,2]$ 弱收敛到 $\mu =\frac{1}{2}{\delta }_0+\frac{1}{2}\mathrm{Unif}[1,2]$，但 $F_n(0)=0$ 而 $F(0)=1/2$；在连续点 $3/2$，两者都为 $3/4$。跳点的失配与依分布收敛完全相容。

连续映射定理公理库连续映射定理Continuous mapping theorem · Mann–Wald theorem当可测映射的不连续点不承载极限概率时，沿它推前保留弱收敛；阈值映射说明边界质量为何决定成败。把 $X_n\stackrel{d}{\to }X$ 传递为 $T(X_n)\stackrel{d}{\to }T(X)$，其中 $T$ 可测且其不连续点集合在极限律下为零测集。在 Hermitian 随机矩阵问题中，还可把不同维数矩阵的实特征值编码为实数轴上的经验概率测度，从而在同一个测度空间中研究谱分布的极限。