Schilder 定理

把时间切成小段。Brownian 增量在长度 $\mathrm{\Delta }t$ 的区间上有协方差 $\mathrm{\Delta }t{I}_d$，小噪声增量的协方差则为 $\epsilon \mathrm{\Delta }t{I}_d$。要沿候选路径走过位移 $\mathrm{\Delta }h$，其高斯指数成本约为 $|\mathrm{\Delta }h{|}^2/(2\epsilon \mathrm{\Delta }t)$。各段独立，成本相加；网格加密后，离散能量趋于 $\frac{1}{2}\int |\dot{h}{|}^2$。

严格证明还需要确保网格之间的路径不会偷偷作出大幅摆动。对 Brownian 桥或增量最大值作指数估计，可以证明分段线性逼近是指数好逼近，再将有限维 LDP 提升到一致路径空间。仅计算每个终点的高斯密度，尚未证明整条路径的定理。

良速率来自能量的紧性。若 $I(h)\le c$，在实 $L^2$ 内积中使用Cauchy–Schwarz 不等式公理库Cauchy–Schwarz 不等式Cauchy–Schwarz inequality · 柯西–施瓦茨不等式内积的绝对值不超过两向量范数之积，且等号精确刻画线性相关。，得到 $|h(t)-h(s)|\le \sqrt{2c}|t-s{|}^{1/2}$；这同时控制大小与共同连续模。Arzelà–Ascoli 的抽取论证给出一致收敛子列：先在可数稠密时刻依次用Bolzano–Weierstrass 定理公理库Bolzano–Weierstrass 定理Bolzano–Weierstrass theorem实数空间中的每个有界序列都存在收敛子列。抽取，并取对角子列，再以共同连续模将这些时刻的收敛扩展为整段上的一致收敛。

还需证明能量约束在一致极限下保留。若 $h_m\to h$ 一致且 $I(h_m)\le c$，则对任意有限组互不相交的正长度区间 $(a_j,b_j)$，先对 $h_m$ 使用积分型 Cauchy–Schwarz，再令 $m\to \mathrm{\infty }$，得到

第二个界直接证明 $h$ 绝对连续。令 $g_{\ell }$ 为其 $L^1$ 导数在等长二进细分区间上的平均值；第一个界给出 ${\int }_0^T|g_{\ell }{|}^2\le 2c$。由Lebesgue 微分定理公理库Lebesgue 微分定理Lebesgue differentiation theorem局部可积函数在几乎每一点都由缩小球上的平均恢复，且该点附近的平均绝对振荡趋零。，这些区间平均在几乎每点趋于 $\dot{h}$：包含该点的小区间可放进长度至多两倍的同心区间，绝对振荡平均仍趋零。再用Fatou 引理公理库Fatou 引理Fatou's lemma非负可测函数列下极限的积分不超过积分的下极限。得 ${\int }_0^T|\dot{h}{|}^2\le 2c$。故能量子水平集闭，配合上述子列抽取即为紧集。

在一维要求终点为 $a$。有限成本路径满足

所以 $I(h)\ge a^2/(2T)$，直线路径 $h(t)=at/T$ 达到等号。由终点映射的连续性与收缩原理公理库大偏差收缩原理Contraction principle沿连续映射转移大偏差原理，以所有原像中最小的速率作为输出成本。，终点速率正是 $a^2/(2T)$，与 $\sqrt{\epsilon }W(T)\sim N(0,\epsilon T)$ 一致。

若事件是在 $[0,T]$ 内达到正水平 $a$，某条路径第一次在 $\tau \le T$ 达到它，之前至少花费 $a^2/(2\tau )$，最小值在 $\tau =T$。开事件 $suph>a$ 可用稍高于 $a$ 的直线逼近同一成本，故

典型 Brownian 路径并不绝对连续，速率在它们上面通常为无穷。这并非定理矛盾：LDP 比较的是小噪声路径落入固定邻域的指数概率，不是为每条精确路径赋密度。有限能量路径描述稀有事件最省成本的宏观形状。

带漂移扩散和状态相关噪声需要另一套路径映射及系数条件。不能把 $\dot{h}$ 随意替换成“速度减漂移”便称为本定理；那是进一步的小噪声扩散大偏差理论。

Schilder 定理提供从静态异常值走向异常轨迹的入口：连续路径泛函可继续收缩成最大值、终点或积分的速率。任何不连续路径事件都需单独处理边界，尤其不能把“触碰”“严格穿越”和“停时恰等某值”当成同一个集合。